Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(1) G(Z) = Z(A) (zZB).
Здесь G (z)—спектр элемента г в Л, Д— пространство максималь-пых идеалов алгебры В и z (А)—множество значений преобразования Гельфанда элемента г, рассматриваемого как элемент алгебры В.
Если х = х*, то из теоремы 11.18 вытекает, что х является вещественной функцией на Д. Поэтому утверждение (а) вытекает из формулы (1).
Если элемент X нормален, то из формулы (1) вытекает, что
POk) = H-KIL- Далее, ||*|L~||*II» так как алгебры В и В изометрически изоморфны. Тем самым доказано утверждение (Ь).
318 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Если у ? А, то элемент уу* эрмитов. Поэтому утверждение (с) вытекает из (Ь), так как р (уу*) = || уу* \\ = || у ||а.
Предположим, что элементы и и и удовлетворяют условиям, фигурирующим в (d). Положим а = || w II, ? = ||t>||f w = u + v> •у — а-f-?. Тогда o(«)cz[0, а], так что
(2) в(ае — и)cz[0, а],
и из утверждения (Ь) вытекает, что \\ае—м|Ка. По тем же соображениям || ?e—v |j ?. Следовательно,
(3) ||ve—w IK Y-
Так как w = w*, то из утверждения (а) получается, что множество» v(ye—w) состоит из вещественных чисел. Поэтому из неравенства (3) вытекает, что
(4) о(уе—w)cz[—у, у].
Но тогда g(w)cz[0, 2у]. Таким образом, 0, и утверждение (d) доказано.
Займемся доказательством утверждения (е). Положим х = уу*~ Тогда элемент х эрмитов, и если В означает то же, что и в на-
чале доказательства, то х—вещественная функция на А. Ввиду
формулы (1) мы должны показать, что х ^ 0 на А.
Так как B = C(A), то существует такой элемент z(-B, что
¦"S ¦<-»
(5) г= \хI — X на Д.
Тогда z = z*t ибо z вещественно (теорема 11.18). Положим
(6) zy = w = и -f- W1
где и и v—эрмитовы элементы из А. Тогда
(7) WW* = zyifz* = zxz = Z2X и, следовательно,
(8) w*w = 2u2 + 2v2—ww* = 2u2-\-2v2—z2x.
Так как и = и*, то, согласно утверждению (а), множество о (и) вещественно. По теореме об отображении спектров отсюда выте-
кает, что W2^O. Аналогично v2^O. Из (5) ясно, что z2х на А. Так как z2x?B, то в сочетании с формулой (1) это дает — zzx ^0. Поэтому из (8) и утверждения (d) вытекает, что w*w~^0-Но о (ww*)czg (w*w) U {0} (упр. 2 гл. 10). Поэтому nww*^0-
Согласно формуле (7), это означает, что Z2X^O на Д. В силу (5) последнее неравенство может выполняться тогда и только тогда,.
когда лг = |л:|. Таким образом, х^0, и утверждение (е) доказано.
Наконец, утверждение (f) является следствием утверждения (е).Ц
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
319
Теперь совпадение спектров может быть доказано совсем в другой ситуации, когда коммутативность роли не играет.
11.29. Теорема. Предположим, что А есть В*-алгебра, В—замкнутая подалгебра в А, причем е?В и х*?В, если х?В. Тогда °а (х)= °в (х) для каждого х?В.
Доказательство. Предположим, что элемент х содержится в В и обратим в А. Мы должны показать, что х~1?В.
Так как элемент х обратим в Л, то в Л обратим также элемент а;* и, следовательно, элемент хх*. Поэтому, согласно утверждению (е) теоремы 11.28, оА (хх*)с(0, со). Так как множество <зА(хх*) обладает связным дополнением в С, то, по теореме 10.18, <ув(хх*) = оа(хх*). Поэтому (хх*)~1^В и, окончательно, х'1 = = х*(хх*)-* e?. ¦
Положительные функционалы
11.30. Определение. Положительным функционалом на банаховой алгебре Л с инволюцией называется линейный функционал F1 для которого
F (хх*) > 0
при каждом X ? Л. Отметим, что алгебра Л не предполагается коммутативной и что непрерывность функционала F не постулируется. [Смысл термина «положительный», конечно, зависит от рассматриваемой инволюции.]
11.31. Теорема. Каждый положительный функционал F на банаховой алгебре А с инволюцией обладает следующими свойствами:
(a) F(x*) = F~(xj',
(b) I F (ху*) Iа < F(xx*) F (уу*)\
(c) IF (х) 2 < F (е) F (хх*) < F (еУ р (хх*)\
(d) \F (х) ^F(e)p (х) для каждого нормального элемента х?А;
(e) F является ограниченным линейным функционалом на А. Кроме того, \\F\\ = F(e), если алгебра А коммутативна, и \\F\\^. ^?l/2F(e), если инволюция удовлетворяет условию \\ х* |K? \\х Jj для каждого х ? Л.
Доказательство. Если х ? Л и у?А, то положим {I) p = F(xx*), q = F(yy*), r = F(xy*), S = F (ух*).
Поскольку F \(х+ay) (х* 4-ay*)] ^ 0 для каждого а?С, то (2) p + or + as-f |а|2<7>0 (а^С).
Полагая в (2) сначала а = 1, а затем а = і, мы видим, что числа
320
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
s-f г и i(s—г) вещественны. Поэтому S = г. При у = е это соотношение дает (а).
Если г = O1 то неравенство (Ь) очевидно. При гфО положим в (2) параметр а равным tr/\r\, где t — вещественное число. Тогда неравенство (2) превратится в неравенство
(3) p + 2|r|* + ^2>0 (— со<г<со),
из которого вытекает, что \r\2^.pq. Но это как раз совпадает с неравенством (Ь).
Так как ее* =е, то первое из неравенств (с) есть просто частный случай неравенства (Ь). Для доказательства второго неравенства выберем некоторое t > р (хх*). Тогда о (te—хх*) содержится в открытой правой полуплоскости. По теореме 11.26 существует такой элемент и€ А, что и = и* и u2 = te—хх*. Поэтому
(4) tF (e)—F (хх*) = F (и2) > 0. Следовательно,
