Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда нам будут полезны следующие простые факты;
зо
часть 1. общая теория
1.28. Теорема, (а) Если d — инвариантная относительно сдви~ гов метрика на векторном пространстве X, то для любого х?Х и любого натурального п
d(nx, 0)^nd(x, 0).
(b) Если {хп\—сходящаяся к 0 последовательность точек мет-ризуемого топологического векторного пространства X1 то существуют такие положительные скаляры уп, что уп —> оо и упхп —>- 0.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из неравенства
п
d(nx, 0)^ 2 d(kx, {k—\)x) = nd(х, 0). k = і
Чтобы доказать (Ь), введем в X инвариантную метрику dy. совместимую с топологией1). Так как d(xn, 0)—> O, то найдется такая возрастающая последовательность положительных целых чисел nk1 что d(xn, 0) < k~2 при n^nk. Положим у,г = \ при п < h1 и уп =k при nk^. п < nk+1. Если п удовлетворяет последним неравенствам, то
а(УпХ,„ 0)=d(kxn, 0)^kd(xn, 0)<А->.
Следовательно, упхп—>0 при л—>оо. Щ
Ограниченность и непрерывность
1.29. Ограниченные множества. Понятие ограниченного подмножества топологического векторного пространства X было введено в п. 1.6 и с тех пор уже несколько раз встречалось, в тексте. Если X метризуемо, то возможно недоразумение, поскольку для подмножеств метрических пространств имеется другое хорошо известное определение ограниченности:
Пусть d — метрика на множестве X; подмножество E er X называется d-'ограннченным, если существует такое число M < оо,_ что d (л:, у) ^ M для всех х и у из Е.
Если d—совместимая с топологией метрика в топологическом векторном пространстве X, то понятия ограниченности и d-orpa-ничеиности могут не совпадать, даже если метрика d инвариантна. Например, если d—метрика, построенная в теореме 1.24, то. само пространство X является d-ограниченным множеством, однако, как мы вскоре увидим, X не может быть ограниченным,, за исключением случая, когда Х = {0}. Если X—нормированное пространство и d — метрика, индуцированная нормой, то понятия ограниченности и ^-ограниченности совпадают; но если вместо d взять —d/(\ +d) (это инвариантная метрика, индуцирующая
j) Существование такой метрики следует из теоремы 1.24.— Прим. перге*.
гл. I. топологические векторные пространства
31
ту же самую топологию), то ^-ограниченность не эквивалентна ограниченности при Хф{0\.
Когда речь пойдет об ограниченных подмножествах топологического векторного пространства, ограниченность всегда будет пониматься а смысле определения п. 1.6: множество E ограничено, если для любой окрестности нуля V включение E cz tV выполняется для всех достаточно больших положительных t.
Мы уже видели (теорема 1.15), что компактные множества ограничены. Чтобы указать другой тип примеров, докажем, что последовательность Коши ограничена (следовательно, сходящаяся последовательность ограничена). Действительно, пусть \хп] — последовательность Коши в X, а V и W—такие уравновешенные окрестности нуля, что V + VczW. Тогда (см. п. 1.25 (Ь)) существует такое N, что xn ^xn-J-V для всех nZ^N. Выберем такое s> 1, что xN?sV. Тогда
xn Є sV+V cz sV + sV cz sW (п > N).
Следовательно, если t достаточно велико, то xn ? tW для всех я>1.
Напомним, что замыкание ограниченного множества тоже ограничено (теорема 1.13).
С другой стороны, если хфО и E = \пх: п = 1, 2, то E
не ограничено; действительно, существует окрестность нуля V, не содержащая точки х; при этом пх не лежит в nV, откуда следует, что E не содержится ни в одном из множеств nV.
Следовательно, никакое подпространство пространства X, кроме {0}, не может быть ограниченным.
Следующая теорема характеризует ограниченные множества на языке последовательностей.
1.30. Теорема. Следующие два свойства подмножества E топологического векторного пространства эквивалентны:
(a) E ограничено;
(b) если {х,г\—любая последовательность точек из Е, а {ап) — такая последовательность скаляров, что ап—>0 при п—>оо, то апхп—>0 при п—>oo.
Доказательство. Допустим, что E ограничено. Пусть V—уравновешенная окрестность нуля в X. Тогда E cz tV для некоторого t > 0. Если ап—> O, то найдется такое N, что \ап 11 < 1 при п > N. Пусть xn G Е; так как t~1E cz V, а окрестность V уравновешена, то a,txn ? V для всех n>N. Таким образом, Ctnxn —> 0.
Если же E не ограничено, то найдутся такая окрестность нуля V и такая последовательность скаляров rn—>oo, что ни одно из множеств rnV не содержит Е. Выберем такие точки
32
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
хп?Е, что Xn(^rnV. Тогда ни одна из точек ^1Xn не принадлежит V, так что последовательность {Гп1хп\ не сходится к 0. Щ
1.31. Ограниченные линейные отображения. Пусть X и топологические векторные пространства, а Л: X—*Y—линейное отображение. Тогда Л называется ограниченным, если оно переводит ограниченные множества в ограниченные множества, т. е. если Л (E) является ограниченным подмножеством пространства Y для любого ограниченного множества E с: X.
Это определение не согласуется с обычным определением ограниченной функции как функции, область значений которой является ограниченным множеством. Никакая линейная функция (кроме тождественного 0) не может быть ограниченной в последнем смысле. Поэтому в дальнейшем, если речь пойдет об ограниченности линейных отображений (или преобразований), всегда будет подразумеваться приведенное выше определение этого свойства в терминах образов ограниченных множеств.
