Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
124
«истинность» всех аксиом Li Set в § 5—7 и затем «ложность» гипотезы континуума при подходящем выборе В в § 8.
Объекты VB будут обозначаться большими буквами X, Y, Z. Вместе с каждыми двумя объектами будут определены элементы ЦХеУЦеВ и ||У=Х||еВ. Интуитивный смысл их таков: если В — алгебра измеримых множеств вероятностного пространства, то 11-ХеУЦ есть максимальное множество, на котором «X является элементом У с вероятностью единица». Так как в общем случае вероятностные меры не играют роли, мы будем называть «вероятностями» просто элементы В и тогда ||ХеУ[| есть просто вероятность включения X в У.
Конструкция точных определений нетривиальна, потому что мы хотим сохранить «истинность» аксиомы объемности. Если случайное множество должно однозначно определяться своими элементами (тоже случайными) хотя бы в обобщенном смысле, то оно не может.быть «слишком» случайным: см. п. 4.3.
Мы будем считать, что алгебра В как множество является элементом универсума фон Неймана V. В таком случае все объекты VB тоже будут элементами V и нужные нам конструкции можно будет формализовать средствами Li Set. Это позволяет в принципе принять более формалистическую точку зрения, чем наша; тогда излагаемое ниже доказательство независимости КГ можно рассматривать как руководство к построению гораздо более синтаксического варианта с использованием «внутренней интерпретации» языка Li Set в самом себе. Предположение о непротиворечивости аксиом Цермело—Френкеля в формулировке теоремы 1.6 приобретает тогда смысл разумной предосторожности, ибо эта непротиворечивость не может быть установлена средствами самого языка (Гедель). В нашем изложении эта оговорка является чистым лицемерием, ибо принятое нами «существование» универсума V, являющегося моделью аксиом, и «доказывает» их непротиворечивость: ср. приложение, п. 1.8.
4.2. Конструкция Vе. Мы построим для каждого ординала а
множество Vf трансфинитной рекурсией по а и затем положим VB= В в
= \JVa • Начало рекурсии: У0 = 0.
а
Индуктивное предположение:
Для ординала а 5*1 определено множество VB;
для каждого элемента X ^VBa определено подмножество D(X)C-V* (его индуктивный смысл будет объяснен позже);
для каждой пары элементов X,Y ?^VB определены „булевы функции истинности“ |'| Г || €=В, \\ X ^=Y \\?^В, которые следует интуитивно представлять себе как «вероятность того, что X есть
125
элемент У» и «вероятность того, что X совпадает с У» соответственно.
Эти данные, по предположению, удовлетворяют следующим условиям:
а) если то
б) если р<а, 'Х^У*+1\УВ, ,то 2(Д)=7*; (1)в
в,) Цу||= V (|Р=2ЦАРеУ||)(1)а.
2<=0(Г)
Условие (1)а является отражением требования, чтобы „истинной“ оказалась следующая формула теории множеств, легко выводимая из аксиом:
х ^У^'ЗХХх^г/\г^у). (2)а
в,) ||*=У||=( Л \\zexwУР<ЕУ||) А( Л ре
г^р(Х) г<=р(У)
е УII'ГО-
Условие (2)а является отражением „истинности, выводимой формулы ——
х = у *--* (г ^ л: —*7. е у) . А (г е У —* г„е х).
Заметим, что на этом уровне не совсем понятно, почему, скажем, в (1)а мы ограничились только теми 2, которые содержатся в 1)(У), казалось бы естественным проверить все вообще X. Позже мы увидим, что формула остается верной, если булево объединение брать по всем 2.
На этом мы заканчиваем описание данных для 7^.
Теперь укажем явную^ рекурсивную конструкцию 7^[и связанных с ним данных.
Определение Ува+^и О. Положим Ув+] =7^ у Ув*+Х, где 7^ состоит из всевозможных функций 2 ^областью ^определения Ув и областью значений С! В, которые удовлетворяют следующему „условию экстенсиональности“:
для всех X, У ^, ц х = у |] А 2 (X) = \\Х:= Г|| А г (У). (3)
Чуть ниже мы определим \\ X ^ Х\\=^ X {X) для Х?хУва, 2?Е €Е7^+1\7^; поэтому (3), как выше, можно интерпретировать как отражение „истинности“ формулы
Ср. также комментарии в п. 2.7 по поводу определения 7?№.
Элементы 1^+1 мы будем называть новыми (ранга а), а
элементы Уя— старыми. Положим О (2) =Ува, если 2 новый.
Определение булевых функций истинности. На парах старых элементов эти функции уже определены. Положим далее: ||^еУ||=У(Х), если X старый, а У новый; (4)
!1* = ГЦ=( Л IIИ'уII2еу 10Л( Л Ц^еУГУП^ехц). (5)
2^0 (X) Т<=й(У)
Формула (5) "автоматически выполнена, если X и У оба старые, в силу (2)а; в остальных случаях она однозначно определяет [[ Х=У\\
с учетом (4) и того, что 1 в (5) пробегает только старые элементы.
Наконец, положим
И*еУ||= \>\\х=2\\/\\\2^г\\, (6)
Ъ=Р (У)
если X — новый элемент, а У — любой. Правая часть однозначно определяется с помощью (4) и (5), ибо О (У) СУЯ.
Формулы (4) и (6) для новых X и старых У показывают следующее. В качестве первого приближения мы можем считать, что случайное множество У ранга а «состоит» из множеств 2 меньшего ранга, входящих в У с вероятностями У(X), которые можно выбирать со значительной степенью произвола, подчиняясь лишь условию экстенсиональности (3).
Однако затем оказывается, что мы должны автоматически «включать» в У все новые и новые элементы X с вероятностями, которые уже предписываются формулой '(6). Условия (3) и (6) и означают, что наши множества не могут быть совсем случайными.
