Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
<5 = {{2, 3, 4, . . .}, ¦)•
Ясно, что в этой полугруппе нет элементов z1, z2, удовлетворяющих условию Z1-Z2 = Z1. Поэтому в классе Sl порождающие символы z1, z2 и формула z1-z2 = z1 не определяют никакой системы.
В каких же классах любая совокупность квазиатомарных формул служит определяющей совокупностью подходящей системы? Ответ на этот вопрос дает основная
Теорема 4. Если класс Sl алгебраических систем наследственен, мультипликативно замкнут и содержит единичную систему (в частности, если ^ — квазимногообразие), то в й любая совокупность порождающих символов Zi (і ё Ґ) и произвольная совокупность €> квазиатомарных формул от переменных Zi, имеющих сигнатуру класса St, определяют некоторую Ш-систему.
Пусть m = max ( | Q | I |, u0), где | Q | I |, N0 — мощности сигнатуры класса совокупности порождающих символов Zi и множества натуральных чисел. Согласно § 6 (см. примеры и дополнения, доп. 2) каждая алгебраическая система, обладающая порождающей совокупностью элементов мощности I / I, сама имеет мощность не выше т.
Обозначим через M набор всевозможных попарно неизоморфных St-систем, мощность которых не превос- 280
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
ходит т. Ясно, ЧТО M — множество вполне определенной мощности, не большей известной границы, зависящей лишь ОТ Itt И I Q I .
Рассмотрим систему а*, (Л ? J) всевозможных таких отображений
Zj 4 (4 Є Яа, Як Є М) (10)
совокупности порождающих символов Zi в системы из множества M1 что при отображении все -формулы из © оказываются истинными в 21?. Так как для одной и той же системы 21 могут существовать несколько различных отображений Zj Cii, при которых формулы из (© истинны, ТО не исключено, ЧТО B системе (10) 2Ц = Sl1X для некоторых % ф ^ из /.
Система отображений заведомо не пустая, так как она содержит единичную систему SIe= ({е}, Q>, в которой при отображении Zi е истинны не только формулы из (а, но и вообще все квазиатомарные формулы.
Рассмотрим декартово произведение
® = ПЯь J)-
Так как все его сомножители принадлежат классу St, который мультипликативно замкнут, то 95 ? St. Отображения (10) индуцируют отображение
ос: Zi —>¦ 95 (і ? I).
Согласно п. 7.5 квазиатомарные формулы мультипликативно устойчивы. Формулы из (© квазиатомарны и истинны в сомножителях 21х при отображениях а,\. Поэтому формулы из (а истинны в 95 при отображении а.
Положим zta = аг и обозначим через 21 подсистему системы 35, порожденную в 95 элементами at (і ? /). Так как формулы из <?> кванторов не содержат, то из истинности их в системе 95 при отображении a: Zi —>¦ at вытекает истинность их и в подсистеме 21-I^fr Мы хотим показать, что порождающие символы Zi и формулы совокупности (© определяют в классе St как раз систему 21. Действительно, эта система является подсистемой St-системы 95 и потому сама принадлежит St. Элементы ?j порождают 21 и при отображении a: Zi a^ ,§ 11]
общие свойства
281
формулы из (S истинны в Sf. Остается показать, что отображение а обладает свойством iii) из теоремы 1.
Пусть заданы Й-система 8Л и отображение Zi tni (.Tni 6 5Ш, і Q /), при котором формулы <S истинны в 9ЇІ. Обозначим через подсистему, порожденную в -Eft элементами Tni. Система принадлежит Й и при отображении Zi тпг формулы из (S истинны в 3?. Нам надо найти гомоморфизм (р: 21-^-9?, при котором агф = Tni
(і Є /).
Элементы Trii порождают 9?, и мощность их множества не выше I I I . Поэтому с точностью до изоморфизма система 3? совпадает с какой-то системой Ш j, а отображение Zi -> Tni совпадает с отображением ay. Zi —а\, и нам достаточно лишь найти гомоморфизм ф: Й —Stj-, удовлетворяющий требованиям агф = а( (i Q /).
Отображение a: Z1 —>- 33 по условию индуцируется отображениями (10), и потому для проектирования имеем
Kj-: 21 -> 21CtiKj = а{,
т. е. л;j и есть искомый гомоморфизм 2t в H7-.
В п. 11.3 (теорема 5) будет показано, что теорема 4 обратима, а сейчас мы докажем ряд утверяедений, позволяющих более полно описать строение систем, заданных определяющими формулами.
Теорема 5 (теорема Дика). Пусть в некотором классе Й совокупности определяющих соотношений (S1, (S2 nPu одной и той же системе порождающих символов {zi І і Q 1} определяют соответственно системы 21 и 35. Если все формулы из (Si являются следствиями формул <S2 в й, в частности, если (S1 S <S2, то система 35 является гомоморфным образом системы 21. Если совокупности формул B1 и (S2 равносильны в й, то системы 21 и 35 изоморфны.
Согласно теореме 1 существуют отображения Zi — —>¦ ?j (аг 6 ЭД)? zi —bt (fc, Q 35), такие, что совокупности {et; 1 і Q 1} и (bt \ і Q 1} порождают соответственно системы 21 и 95, и формулы из (S1 и (S2 Для указанных значений Zi истинны соответственно в 21 и в 35. Так как формулы, принадлежащие (S1, следуют из формул системы <S2, то В 35 истинны все формулы из (Si. Согласно iii) отсюда 282
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
вытекает существование гомоморфизма <р системы ЭД в систему 55, переводящего at в Ьг (і ? I). Так как элементы Ьг порождают систему 95, то ср есть искомый гомоморфизм I на
