Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
axbvcz ¦ axibviczi = a* + *ibv+vicz+zi--x™, 1
_ (14)
(CfbvCz)-1 = a-xb-yc~z-xv = ар-хЬр-ус-г~хУ, ,
где черта сверху означает остаток от деления соответствующего числа на р. Соотношения (14) показывают, что элементы вида
g = axbvcz (х, у, z = 0, 1, . . ., р - 1) (15)
образуют подгруппу в (5, Так как эта подгруппа содержит элементы a, b, порождающие (5, то указанная подгруппа совпадает с © и, следовательно, каждый элемент © допускает запись вида (15). Мы хотим показать, что эта запись однозначная.
Обозначим через § совокупность всех троек (х, у, z) чисел 0, 1, ..., р — 1 и, следуя формулам (14), введем в $ операции умножения и обращения, полагая по определению
(x, у, z)-(x1, уи zi) = (x + x1, у + уі, z+zi—хіу),
(х, у, z)-1 = (p — X, р — у, —z — xy).
Легко проверить прямыми вычислениями, что совокупность $ относительно так определенных операций является группой и притом метабелевой. Тройки вида (х, 0, 0)и вида (0, х, 0) (х = 0, 1, . . ., р — 1) образуют соответственно циклические подгруппы $2 в
Так как группа (?, по предположению, является метабелево свободным произведением своих подгрупп ЭД, то
(16) 312
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
изоморфизмы
а: (аха=(х,0,0)), "I
?: S (й^ = <0, я=, О» J (1 }
должны продолжаться до гомоморфизма Є —у- fg. Из (16), (17) следует, что
cl = (a-ib-4b)l =
= <-1, 0, 0)(0, -1, 0><1, 0, 0)(0, 1, 0) = (0, 0, 1), и потому
(axbycz)l = (x, у, z) (ж, у, z = 0, 1, ..., р — 1).
Различные тройки (х, у, z) (х, у, z = 0, 1, . . ., р — 1) по определению являются различными элементами группы ig. Поэтому и произведения вида (15), имеющие различные наборы показателей х, у, z, имеют различные значения в (5.
Возьмем теперь метабелево свободное произведение Ф той же циклической группы 21 мощности р и циклической группы S1 мощности р%. Обозначим через d порождающий элемент группы S1. Элемент b* = dp порождает в S1 циклическую подгруппу
S* = {dp, d», ..., a(p~i)p, 1}
мощности р, изоморфную рассмотренной выше группе S. В то же время подгруппа порожденная в % элементами подгрупп 21, S*, не изоморфна группе © и, следовательно, не есть метабелево свободное произведение 21 и S*.
В самом деле, так как в ® а~1Ъ~1аЪ = с Ф- 1, то © не коммутативна. С другой стороны, полагая в группе % a~1d~1ad = h, будем иметь d~lavd = aphp, откуда hv = 1. Из формулы a~ldpa = dphrv получаем a~ldpa = dp, т. е. dpa = adp и axdpy = dPVax (x, у = 0, 1, . . ., p - 1).
Следовательно, подгруппа <5* коммутативна и потому не изоморфна некоммутативной группе (5.
12.2. Независимые элементы и свободные системы. Пусть заданы алгебраическая система 21 и какой-нибудь класс систем К некоторой фиксированной сигнатуры й. Непустая совокупность S каких-то элементов из 21 назы- § 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
312
вается независимой в Sf относительно класса Jt (й-незави-симой), если произвольное отображение S в любую Jt-систему 9)1 может быть продолжено до гомоморфизма S в 93Ї, где S — подсистема, порожденная элементами S в Я.
Совокупность S называется просто независимой в Si, если она независима относительно класса Jt, состоящего из одной системы Sl (ср. Марчевский [44]).
fB этих определениях не исключено, что S состоит только из одного элемента. Поэтому имеет смысл говорить о независимости (или самонезависимости) того или иного элемента системы Si.
Так как в определении St-независимости играет роль не сама система Si, а лишь подсистема S, то й-независи-мость совокупности S в системе Sl равносильна Jt-незави-симости S в любой подсистеме системы Si, содержащей S. Ясно также, что из ^-независимости S вытекает St-независимость любой подсовокупности совокупности S.
Наименование «^-независимые" элементы» оправдывается следующим их свойством.
Теорема 1. Если попарно различные Элементы alt . . ., ап системы Sl St-независимы и в Sl удовлетворяют какому-нибудь квазиатомарному соотношению
P Ifl (аи . . ., ап), ...,/„ (аи . . ап)) = И, (1)
где P 6 {Q, = }, а /г (X1, . . хп) — некоторые термы сигнатуры ?3, не обязательно содержащие все переменные Xi, ..., хп, то в классе К истинно тождество
(Vx1 ... хп) Ptfl (X1, .. ., X n)l ... 5 fs (Xll • • • 1 xTl ))• (2)
Обратно, пусть для некоторой совокупности S элементов системы SI из истинности квазиатомарного соотношения вида (1) для каких-то попарно различных элементов A1, . . ., On 6 S вытекает истинность в классе Jt тождества (2). Тогда совокупность S^ ^.-независима.
Пусть я4, . . ., ап, — различные Й-независимые элементы, S1 = (аи . . ., ап} и C1, ..., сп— какие-нибудь (не обязательно различные) элементы произвольной 314
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Я-системы К. По условию отображение
a: &Ї —> Cj (і—і, ..., и)
можно продолжить до гомоморфизма Y- S1-^S. Но тогда из соотношения (1) будет вытекать
И = P (ft Iaiу, ..., апу), ...,/, (Яіу, • • •, апу)) =
= P(fi(Ci, ...,Cn), ..., /,(Cl, ... Cn)).
Обратно, пусть из любого соотношения вида (1) для произвольных попарно различных элементов , . . ап какой-то совокупности S элементов St следует тождество (2) в классе Я. Берем какое-нибудь отображение а совокупности S в произвольную Я-систему (5. Нам надо продолжить а до гомоморфизма 5 в К. Каждый элемент а ? S можно представить в виде
