Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что T1 получается из га увеличением индексов у всех uj, ..., Zj на І; таким образом, мы получаем ступенчатое представление. Более того, все Ti имеют одну и ту же длину; она равна, очевидно, общему числу вхождений букв, отличных OT / И Z"1. Следовательно, длина Ir0I слова г0 как слова над Xi меньше длины слова г над X.
Теперь нужно показать, что w содержит t, а также все буквы a, . .., z. Для начала возьмем Y1={ah ..., zt}. Слово г содержит t и некоторое подслово xetkyf, где е, / = ±1, кфО, а х, у — это некоторые а, ..., z. В этом случае г„ как слово над X1 будет содержать xh+k и Uh Для некоторого h; таким образом, а0<со0. Ясно, что at<. <Ссо; для всех і и что из t'</ следует ai<.a.j и ш;<;ш;-. По предположению индукции w как слово над Xt не может содержать буквы только из Y0; но тогда w как слово над X должно содержать /. Далее, чтобы доказать, что w содержит, например а, положим Yi = = {at}. Поскольку г содержит а, T0 должно содержать некоторый элемент аи откуда снова по предположению индукции делаем вывод, что w как слово над X1 должно содержать некоторый at и, следовательно, как слово над X должно содержать а.
Остается разобрать случай, когда никакой порождающий не встречается в г с суммой показателей, равной нулю. Мы уже предположили, что X содержит по меньшей мере два элемента t и а. Достаточно показать, что w содержит, скажем, а. Пусть т — сумма показателей при t в г и а — сумма показателей при а. Вложим F в свободную группу F' с базисом х, а, ..., г, причем xa=t. Поскольку w — следствие соотношения г в F, то то же самое верно в F'. Группа F' обладает еще одним базисом Х* = {х, a*, b, ..., z), где а*=ах~х. Как слово над этим базисом г имеет нулевую сумму показателей при X. Перейдем, как и прежде, к подгруппе F[ группы F' с базисом X'' = {а}=х~'а*х1, Ь1=х~1Ъх1, г{=х'1гх'; і?Z}. Длина слов
6. Подход Магнуса
161
г относительно этого базиса равна, очевидно, общему числу вхождений в г как слово над X букв, отличных от t и t~l, т. е. меньше длины г как слова над X. Это позволяет применить предположение индукции и вывести, что до как слово над X' содержит некоторый элемент а*, а значит, как слово над X содержит а. Это завершает доказательство теоремы о свободе. ?
Доказательство предложения 5.8. Предположим, что два элемента г и s свободной группы F с базисом X имеют одно и то же нормальное замыкание N в этой группе. Нам нужно доказать, что г сопряжено с s или s-1. Можно предполагать, что г и s нетривиальны и циклически приведены. По теореме о свободе, поскольку каждое является следствием другого, они содержат в точности одни и те же порождающие. Можно предполагать, что X= {t, a, . .., z) и что urns содержат все эти порождающие. Случай одного порождающего тривиален, и мы не будем его разбирать. Этот случай составляет базис индукции по длине слова г. Как и прежде, вкладывая F в большую группу F', если это нужно, можем считать, что сумма показателей при t в г равна нулю. Как и выше, перейдем к подгруппе F1 с базисом X1=[Ui, Zt) и заметим, что N-^F1 является нормальным замыканием в F1 как множества Ri={г u іQZ}, так и множества S1= {s;; іQZ}.
Некоторое гр будет содержать а0 как at наименьшего индекса и некоторое ат наибольшего индекса. Аналогично некоторое sq будет содержать а„ как at наименьшего индекса и некоторое ап наибольшего индекса. Если п<Ст, то по теореме о свободе, примененной к представлению (X1; R1), получаем противоречие с тем, что Sg является следствием множества Ri. Таким образом, п^т и по симметрии п=т. Однако в этом случае по теореме о свободе sq — следствие слова гр и, симметрично, гр — следствие слова sq. Это означает, что гр и sg имеют одно и то же нормальное замыкание в F1. Поскольку гр как слово над X1 короче, чем г как слово над X, по предположению индукции можно заключить, что г сопряжено в F1 с S*1. Однако тогда гр сопряжено es*1 в F; поскольку гр сопряжено с г, а Sg с s, то г сопряжено с s±l в F. Таким образом, доказательство предложения 5.8 закончено. ?
Глава III ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
1. Введение
Мы уже отмечали сильное влияние геометрии, топологии и некоторых глав анализа на зарождение и развитие комбинаторной теории групп, а также применение геометрических и топологических методов в абстрактной теории групп. Здесь мы развиваем некоторые простейшие из этих методов, отчасти потому, что упомянутые связи интересны сами по себе, отчасти для того, чтобы дать геометрические доказательства некоторых теорем, уже доказанных где-либо другими способами, а также чтобы подготовить почву для тех геометрических идей, которые возникают при рассмотрении теории малых сокращений в гл. V этой книги. Мы попытались включить в гл. III все результаты геометрического характера, которые соответствуют нашей теме и достижимы теми ограниченными средствами, которыми мы располагаем, за исключением систематического изложения теории малых сокращений.
Значительна доля давно известных фактов. Они зачастую остаются безымянными, так как многие идеи, хотя и важны, очень естественны и возникли независимо у многих авторов. Упомянем лишь старые работы Кэли, Дика, Фрике и Клейна, Пуанкаре и несколько более поздние — Дэна, Нильсена, Райдемайстера, Трель-фаля.
