Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
284 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
G = <a, b, с, d,e, /; [a, b][c, d] = [f, е]>,
ниє в виде произведения элементов некоторой приведенной по довательности, например,
g = Kt^h1... t*nhn,
где каждое hf лежит в Я. Положим
g Q ЕЕ тогда и только тогда, когда или h0QH— F, или h0 Q F и є.,- = —(— 1, и при этом либо hnQH—F, либо hnQF и е„ = — 1;
gQEE* тогда и только тогда, когда или /г„ Q Я — F, или h0 Q QF и S1 = + 1, и при этом HnQF и е„ = + 1;
gQE*E тогда и только тогда, когда h0QF и ef = —1 и при этом или hnQH— F, или HnQF и е„ = —1;
gQE*E* тогда и только тогда, когда h„QF, є, = — 1 и при этом hnQF и е„ - + 1.
В частности, все элементы из Я—F лежат в ЕЕ. Из леммы Брпт-тона следует, что данные определения не зависят от выбора приведенной последовательности, представляющей элемент g.
Проверим аксиому о произведении (аксиома 4). Как и в случае свободных произведений с объединенной подгруппой, суть состоит в том, что если g Q XY ukQ Y*Z, то приведенная последовательность для gk получается приписыванием последовательности для k к последовательности для g. Пусть g=hate* . . . te"hn и /e=/e0Z6i . . . . . . t&mkm. Предположим, что g Q XE HkQ E*Z. Тогда hn Q H—F или hnQF и en=—1, в то время как k0 Q F и O1=—1. Таким образом, последовательность
hufr...t*n(hnk0)t^...t6-»km
приведена Hgk Q XZ. Та же схема работает при g Q XE* nkQ EZ. Дл проверки аксиомы ограниченности рассмотрим произведение g=gi. . . .gn, где gt Q X^1Xi. Из условия gt Q Xt^X1 следует, что в ЕЕ жет содержаться, самое большее, половина элементов gt. Кажд-элемент gi^EE должен содержать в своей приведенной фор\ /-символ. Поскольку мы увидели, что приведенная последовател ность для g может быть получена объединением приведенных п следовательностей для gt и слиянием элементов из Я в начале , конце последовательностей для gi, понятно, что п не превосход удвоенного числа /-символов в приведенной форме элемента g.
Наконец, tQEE*, что доказывает аксиому нетривиальности.
Заметим, что одна группа может обладать многими различными биполярными структурами. Рассмотрим, например, фундаментальную группу поверхности рода 3. Биполярные структуры, возникающие из рассмотрения группы G как свободного произведения с о единенной подгруппой, например
б. Биполярные структуры
Ява
и как HNN-расширения:
G = <a, o, с, d, е, f; f~1ef = e[d, с] [6, а]>,
различаются существенным образом.
Найдем теперь некоторые следствия из аксиом биполярной структуры. Приводимая ниже последовательность из четырех лемм принадлежит Столлингсу (см. Масси и Столлингс [1977]). Пусть G — группа с биполярной структурой. Элемент g ? G называется неприводимым, если g лежит в F или g лежит в XY и не равен никакому произведению hk, где h Q XZ и k?Z*Y. Из аксиомы ограниченности (аксиома 5), непосредственно вытекает, что G порождена неприводимыми элементами. В силу аксиомы об обратном (аксиома 3) и того, что F — подгруппа, g неприводим тогда и только тогда, когда неприводимым является элемент g-1.
Лемма 6.1. Если g?XY, h?YZ и h неприводим, то либо gh?F, либо gh?XW для некоторого W.
? Если gh?F, то все в порядке. Предположим, что gh?X*W. Тогда g'1 Є YX по аксиоме об обратном. В этом случае h = g~l (gh), что противоречит неприводимости элемента п. ?
Лемма 6.2. Если h?ZX, g?XY и h неприводим, то либо hg?F, либо hg ? WY для некоторого W.
? Доказывается аналогично лемме 6.1. ?
Лемма 6.3. Если g?XY и h?YZ — неприводимые элементы, то элемент gh неприводим и лежит в F и XZ.
? По леммам 6.1 и 6.2 имеем gh?F{) XZ. Если gh не является неприводимым, то gh ? XZ и gh = pq, где р ? XW и q Є W*Z. Имеем g = p{qh~l). Поскольку /і-1 6ZF-неприводимый элемент, то qh-l?F или qh'1 ?W*V по лемме 6.1. Однако qh~x ? W*V, поскольку в противном случае g был бы приводим. Поэтому qh-l?F. Таким образом, g = р (qh~l) ^ XW по аксиоме 2. Аналогично h~l = q~x(qh~1), откуда h-1^ZW* по аксиоме об обратном и аксиоме 2. Следовательно, h?W*Z. Это противоречит тому, что g б XY и h 6 YZ. ?
Лемма 6.4. Если g?XY, f?F и g неприводим, то gf —неприводимый элемент множества XY. Аналогично fg — неприводимый элемент множества XY.
? По аксиоме 2 имеем gf?XY. Если gf приводим, то gf = pq, гДе p?XW и q ?W*Y для некоторого W. Но тогда g = p(qf~1)-Поскольку p?XW и qf~1?W*Y по аксиоме 2, получаем противоречие с неприводимостью элемента g. По аксиоме об обратном
285
286
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
и первой половине доказательства g-1/-1— неприводимый э мент из YX. Таким образом, fg—неприводимый элемент из XY.\
Теперь мы в состоянии доказать характеризационнуютеор Столлингса.
Теорема 6.5. Группа G обладает биполярной структурой то и только тогда, когда она является или нетривиальным свободи произведением с объединенной подгруппой (возможно, обычным бодным произведением), или HNN-расширением.
? Предположим, что G обладает биполярной структурой. Опр лим
G1 = F(J[X; х — неприводимый элемент из ЕЕ), G2 = F \}[х; X — неприводимый элемент из Е*Е*\.
Утверждается, что G1 и G3— подгруппы группы G. Обратный элементу группы Gi лежит в Gx по аксиоме 1 и аксиоме об обратно Рассмотрим произведение hk двух элементов из G1. Если и h, п k лежат в F, то hk G F, поскольку F — подгруппа. Если оба h, k — неприводимые элементы из ЕЕ, то по лемме 6.3 либо hk?F, либо hk — неприводимый элемент из ЕЕ. Если в точности один из элементов h, k лежит в F, то hk ¦— неприводимый элемент из ЕЕ, согласно лемме 6.4. Аналогичным образом подгруппой оказывается и G2.
