Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
g0te'gf- t*»ga = h,t*'hi... to"-hm,
где обе соответствующие последовательности имеют нормальную форму. Если п = т = 0, то gt = h0 по первой части утверждения (I). Предположим, что т > 0. Тогда
Последовательность, соответствующая правой части, не является приведенной лишь в том случае, когда гп=8т, a gjim1 лежит в подходящей подгруппе. Если, например, г„ = Ьт = — 1, то gn и hm — представители смежных классов по А в G, a gJimQA. В этом случае gn = hm. Поэтому получаем
что позволяет вывести результат индукцией по т.
При проведении доказательства теоремы будем следовать идее Артина — ван дер Вардена и заставим G* действовать подстановками на множестве нормальных форм. Интуитивно действие группы G должно быть следующим: умножить слева и привести к нормаль-
252 Гл. IV. Свободные произведения и ЬШЫ-расширения
ной форме. Пусть W — множество нормальных форм из G* и S (W) — группа всех подстановок на множестве W. Гомоморфизм гр : G* -+S(W) будет задан, если мы определим его на G и t и пока жем, что определяющие соотношения переходят в 1. При gQG определим 4(g), полагая
fr, t*»,gn) = gge, fr, ...,t*",gn.
Таким образом, 4(g) просто домножает первый элемент послед-вательности на g. Ясно, что 4 (g'g) = W (g')W (g). В частности T (g) 1F (g'1) = 1 w = 4 (g'1) W (g). Следовательно, W (g) — подста иовка множества W и W — гомоморфизм из G в S(W).
Определим 4(t) следующим образом. Пусть g0,t?<,gly . ... »¦¦'te"'gn — некоторая нормальная форма. Если E1 = — 1 Hg0QB то
V(t)(g0, t-1, .... t'*,gn) = V-HgJg1, fr,g,.....t'«,gn.
В противном случае
T (0 (go, fr.....fr, gn) = (p-i(b), t, g0, fr, git /•», gn,
где g0 = bg0,bQB.
Необходимо проверить, что Y(O-действительно подстановк множества W. Мы хотим показать, что 4(t) имеет обратны 1F(Z""1), определенный следующим образом. Пусть g0, /е>, .. • • • і ten, gn — некоторая нормальная форма. Если E1 = -f1 и g0 Q А' то
V (*-*)(&,, t\ .... ^,gn) = ^fc)ft, t*;gt, t°",gn. В противном случае
TU-1Xg,, t*'.....fr,gn) = <p(a),t-\g0, fr,...,fr,gn,
где g0 = ago, aQA.
Проверка равенства 4(t~x)W(t)= lw разбивается на дв случая. Пусть g0, fr, te", g„ — некоторая нормальная форма. Если мы находимся в условиях первого пункта определения дл 4(t), то B1 = — 1 и g0 Q В. Заметим, что невозможны соотношения є2 = +1 и gtQA, поскольку мы имеем дело с нормальной формой. Тогда
T(O (go. te»,gn) = <p-1(g0)g1, fr,g„ t*»,g„.
По предыдущему замечанию мы находимся в условиях второго пункта определения преобразования T (21-1). Поскольку gt — представитель смежного класса и у'1 (g0) Q А, представитель смежного класса Лф_1(#о)?і равен gx. Поэтому
ЧУ'1) (V-Hg0) gv *E>>g*.....*«». *„) = *«, t~\ gi, fr,..., t'n, g*
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
253
Если мы в условиях второго пункта определения для ?(/), то очевидно, что
Y(*-W0te.. *"«.....^»,e„) = g.. <8'.....^",g„.
Таким образом, W(t'^W(t)= lw. Сходная проверка показывает,
что 1F(W1)= V и что V(U) = T (*-1) 1P (ф"1 (ft)) Y(Z) при 6 6 ?. Таким образом, V — действительно гомоморфизм из G* в S(If).
Для завершения доказательства необходимо только заметить, что если g0, te<, je", gn — некоторая нормальная форма, то
?(?,*«.... *»»?,)(1) = &, ...,*«»,?„.
Таким образом, произведения элементов в различных нормальных формах представляют различные элементы группы G*. ?
Для большинства целей нет необходимости в выборе представителей в смежных классах. Таким образом, мы будем использовать почти без исключений теорему о нормальной форме в формулировке (I). Важно, что G вкладывается в G* и что у нас есть критерий равенства единице элементов из G*.
Начиная с этого момента, мы не будем особенно заботиться о формальном различии между последовательностью g0, t*\ . . ., ts", gn и произведением go''81 ¦ ¦ ¦ te"gn- Из контекста будет понятно, о чем именно идет речь. Еслию— слово из G*, то можно записать
W = gJe> . . . ts"gn,
где соответствующая последовательность не обязательно приведена. Рассмотрим операции, называемые t-редукциями и состоящие (і) в замене подслова вида t~1gt, где? Q А, на ф (g) или (H) в замене подслова вида tg г-1, где g Q В, на ф-1 (g). Конечная последовательность ^-редукций приводит w к виду
где соответствующая последовательность приведена. Если ?>0, то, согласно лемме Бриттона, w' и, значит, w отличны от I в G*. Если k=0, то по теореме Хигман — Нейман — Неймана ы>' = \ в G* в том и только том случае, когда w' = l в G. Процесс осуществления r-редукций эффективен, если мы можем сказать, какие слова из G представляют элементы из А или В, и если функции ф и ф-1 эффективно вычислимы. (Это последнее условие всегда выполняется, если группы А и В конечно порождены.) Таким образом,
Следствие 2.2. Пусть G* = <G, t; t~lAt = B, ф> — некоторое HNN-расширение. Если в G разрешима проблема равенства слов и проблемы вхождения в А и В, йфяф"1 эффективно вычислимы, то в G* разрешима проблема равенства слов. ?
254
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Слово w вида g0tEi ... tE"gn называется приведенным, ее приведенной является последовательность g0, tSi, ..., tBn, gn.
