Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Номинальная учетная ставка процентов
В тех случаях, когда дисконтирование применяют т раз в году, используют номинальную учетную ставку /. Тогда в каждом периоде, равном \/т части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке //т. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой
(15.38)
(15.39)
P=S(l-//mf, где M= тп — общее число периодов дисконтирования.
(15.40)
332 Глава 15. Элементы финансовой математики
Дисконтирование не один, а т раз в году быстрее снижает величину дисконта.
Эффективная учетная ставка
Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году.
В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей:
<1-//тГ = <1-0". из которого следует, что
4,= 1-0-ffmY. (15.41)
Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.
Наращение по сложной учетной ставке
Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования (15.38) и (15.40). Получаем:
S=W-O" (15.42)
5 = /у(1-//т)-\ (15.43)
Пример 15.
Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 ООО ден. ед., срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.
Решение.
По формуле (15.42) получаем:
S = 200 000/( 1 - O11)2 = 246 913,58 ден. ед.
Пример 16.
Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.
Решение,
Подстановка в формулу (15.43) значений m = 4HjV = 4- 2 дает: 5 = 200 000/( 1 - 0,1/4)" = 244 902,42 ден. ед.
15.2. Сложные проценты 333
15.2.3. Непрерывные проценты Наращение и дисконтирование
Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле
S = P(I+j/m)m,
где j — номинальная ставка процентов, т — число периодов начисления процентов в году.
Чем больше т, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при т -> оо имеем
S=MmP(I +j/m)"" =Plim[(l + j/m)"]\ (15.44)
Используя второй замечательный предел (см. 4.2.4), получаем: \im(l+ j/m)" =1ішІ(1 + у/т)т" У = е',
.. (, :
где е
-Umfl+-) .
*-*"\ X J
Используя этот предел в выражении (15.44), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид
S= (15.45)
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют стой роста и обозначают 5:
S = Pe6". (15.46)
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т -> да.
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле
P=Se-**. (15.47)
Связь дискретных и непрерывных процентных ставок
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения:
334 Г лаю 15. Элементы финансовой математики
(1 + і)" = *"".
(15.48)
[4.3 этого равенства следует, что
B = In (I + 0. i = es- I.
(15.49) (15.50)
Пример 17.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%, рассчитать эквивалентную силу роста.
Решение.
Из формулы (15.49) следует:
т. е, эквивалентная сила роста равна 13,98%.
15.2.4. Расчет срока ссуды и процентных ставок
В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины можно найти из формул наращения или дисконтирования, так как в обоих случаях необходимо решить обратную задачу.
Срок ссуды
Рассмотрим задачу расчета срока ссуды для различных ставок.
1. При наращивании по сложной годовой ставке і ш исходной формулы наращения (15.20)
следует, что срок ссуды (в годах) рассчитывается по формуле
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.
2. При наращивании по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы (15.28)
5 = Ln(l + () = 1n (1 + 0,15) = 0,1398,
5 = Р(\ + І)"
n = log(5/P)/log(l +¦ і).
(15.51)
S = P(V+j/my
15.2. Сложные проценты 335
получаем:
n= logGVTVm log{l+y/m). (15.52)
3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d из формулы (15.38)
