Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Для случая, показанного на рис. 15.2, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:
X1=A1(W1i)-A1: X1 = X1(W2O-A1;
Ki(WsO-Aa = Q1 (ia.nu;
где /г, ^ — периоды времени, заданные в годах; і — годовая процентная ставка.
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 355
23'
Правило торговца
Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации:
1. Если срок ссуды не превышает года, суммадолга с начисленными за
весь срок процентами остается неизменной до полного погашения.
Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными них до конца срока процентами.
2. В случае, когда срок превышает год, указанные ранее расчеты дела-
ются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.
При общем сроке ссуды /< 1 можно записать следующее выражение: S = Z)-A' = P(I + *!)-? Я,0 + ',О' (15.111)
где S— остаток долга на конец срока; D — наращенная сумма долга; К — наращенная сумма платежей; R1 — сумма частичного платежа; tj — интервал времени от момента платежа до конца срока; т — число частичных (промежуточных) платежей; Р— ссуда банка.
Пример 25.
Ссуда в размере 3 000 000 ден. ед. выдана банком 20 января на срок 1 год. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся платежи в банк: 20 апреля в размере 500000 ден. ед., 20 июля в сумме 200 000 ден. ед., 20 октября в размере 800 000 ден. ед. На ссуду банк предусматривает начисление простых процентов по ставке 30 % годовых.
Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и метода торговца и определить размер погасительного платежа в обоих случаях. Результаты расчета сравнитъ.
РЄШ01ШЄ.
Вычислим размер погасительного платежа актуарным методом.
20 января долг банку составил 3 000 000 ден. ед.
20 апреля долг с процентами составил:
3 000 000 ¦ (1 + 0,3 • 1/4) = 3 000 000 ден. ед. + 225 000 ден. єд. = = 3 225 000 ден. ед.
356 Глава 15 Элементы финансовой математики
В банк поступило 500 ООО дсн. ед., что больше начисленных процентов 225 ООО лен. ед., поэтому вычитаем из долга 500 ООО ден. ед. Таким образом, 20 апреля остаток долга составил:
3 225 000 ден. ед. - 500 000 ден. ед. = 2 725 000 лен. ед. 20 июля долг с процентами составит:
2725 000•(I +0,3- 1/4) = 2 725 000 дсн. ед. + 204 375 дсн. ед.-= 2 929 375 ден, ед
В банк поступили 200 000 ден. ед. < 204 375 ден. ед., поэтому этот платеж присоединяем к платежу 20 октября, на эту дату долг с процентами составит:
2 725 000 ¦(I +0,3 ¦ 1/2) = 2 725000 ден. ед. +408750 ден. ед. = = 3 133 750 ден. сл.
В банк поступило 800 000 ден. ед., что больше начисленных процентов 408 750 ден. ед., поэтому вычитаем из долга 800 000 ден. ед. Таким образом, 20 октября остаток долга составит:
3 133 750 ден. ед. - 200 000 лен. ед. - 800 000 ден. ед. = 2 133 750 ден. ел. 20 января долг с процентами составит.
2 133 750 ден. ед. (1 + 0,3- 1/4) = 2 293 781.25 ден. ед.. которая является размером последнего погасительного платежа. Теперь вычислим размер погасительного платежа методом торговца. Па конец срока (1 год) остаток долга составит:
3 000 000 ¦ (1 + 0,3) - 500 000 • (1 + 0,3 ¦ 1/4) - 200 000 ¦ (1 + 0,3 ¦ 1/2) -- 800 000 • (І + 0,3 ¦ 1/4) = 3 900 000 ден. ед. - 612 500 ден. ед. -- 230 000 ден. ед, - 8G0 000 деп. ед. = 2 197 500 ден. ед. Таким образом, размер погасительного платежа, вычисленный актуарным методом, составит 2293 781,25 ден. ед., методом торгов-па - 2 197 500 деп. ед. Для банка иьпшен расчет по актуарному мето- , ду, для клиента — по методу торговца.
15.5.3. Переменная сумма счета и расчет процентов
Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счет, который изменяется в течение срока хранения: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма на счесе изменяется, вычисляется процентное число С, за про-
15 5. Некоторые приложения финансовой математики 357
шедший периоду, и течение которого сумма на счете оставалась леиз-мениші, по формуле
где tj — длительность;-го периода в днях, P1 — сумма на вкладе /-го периода.
Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, асе процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D:
где К — временная база (число дней в голу, т. е. 360, 365 или 366): і — годовая ставка простых процентов. %.
При закрытии счета владелец получит сумму, рапную последнему значению суммы на счете плюс сумма процентов.
Пример 26,
Вкладчиком 20 января в банке был открыт счет до востребования в размере Р| = 1000 ден. ед., процентная ставка по вкладу составляла і=15% годовых. Дополнительный взнос на счет составил A1 = = 2000 ден. ед. и был сделан 10 марта. Снятие со счета в размере R1 = 1500 деи. ед зафиксировано 3 мая. 10 октября того же года счет был закрыт.
