Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. РАССУЖДЕНИЕ ПОМОГАЕТ ДОГАДКЕ
Велика роль догадки при решении нестандартных задач. Но не всякая догадка достоверна. К тому же пользоваться своей догадливостью следует осмотрительно. Относительно догадки можно сказать коротко: «Доверяй, но проверяй». Вот что говорит известный математик Джордж Пойа: «Нужную мысль можно сравнить с вражеским лазутчиком, который стремится проскользнуть в город мимо часового. Поэтому часовому нужно знать хоть какие-то приметы лазутчика, чтобы не останавливать всякого проходящего мимо».
Уподобим догадку лазутчику. Чтобы «выловить» нужную догадку из огромного числа бесполезных мыслей, нужно сопровождать каждую догадку рассуждением и размышлением о степени ее полезности для решения данной задачи. Обратимся к примеру.
Представьте себе, что ваш друг задумал некоторое натуральное число в промежутке от 1 до 1000. Чтобы угадать задуманное
-1
Рис. 22
Рис. 23
28
число, вы будете спрашивать друга, а тот отвечать на вопрос только словами «да» или «нет». Если передоверить решение этой задачи одной только догадке, то может случиться так, что вы будете довольно долго ее решать (да и скучной будет работа). Может показаться невероятным тот факт, что достаточно всего десяти правильно поставленных вопросов, чтобы наверняка отгадать задуманное число!
В самом деле, пусть задуманное вами число есть 1. Спрашиваем и получаем ответ.
1. Верно ли, что задуманное вами число больше 512? — Нет!
2. Тот же вопрос о 256. — Нет.
3. Тот же вопрос о 128. — Нет.
4. Тот же вопрос о 64. — Нет.
5. Тот же вопрос о 32. — Нет.
6. Тот же вопрос о 16. — Нет.
7. Тот же вопрос о 8. — Нет.
8. Тот же вопрос о 4. — Her.
9. Тот же вопрос о 2. — Нет.
10. Задумано число 1. — Да. Рассмотрим теперь такую задачу:
«...И сказал Кащей Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего дня. Утром явишься перед мои очи, задумаю я три цифры — а, Ь, с. Назовешь ты мне три числа — х, у, z. Выслушаю тебя и скажу, чему равна сумма ах + by + cz. Тогда отгадай, какие а, Ь, с я задумал. Не отгадаешь — голову с плеч долой».
Опечалился Иван-церевич, пошел думу думать. Надо бы ему помочь».
Познакомимся с ходом рассуждения одного вашего товарища, которому пошли на пользу наши советы. Мы попросили его подумать над решением задачи вслух и вели за ним запись его рассуждений. Вот как он размышлял при решении этой задачи:
«Да, задача не из легких, но попробую помочь Ивану-царевичу. Итак, утром Иван-царевич, зная х, у и z и сумму jV = ах + by + + cz, должен будет назвать a, b и с.
Первая трудность. Уравнение с тремя неизвестными решать не умею. Продумаю эту трудность, изменю условие задачи, сделаю
его более простым. Пусть х = у = z, тогда а + Ь + с = —. Пусть
х
- = 5, но 5=2+3 + 0- 1+2+2 = 1+1+3=5+ + 0 + 0.
Вторая трудность. Даже маленькие числа могут быть представлены в виде суммы трех слагаемых не единственным образом. Попробую получить уравнение с двумя неизвестными.
Пусть х = 0, тогда jV= by + cz, отсюда b = ~сг N == —-с +
w У У
+ -. Увы! У
29
Третья трудность. Уравнение с двумя ы неизвестными имеет бесконечное множе-
ство решений (рис. 24).
Попробую другой путь. Вспомню-ка я «родственников» этой задачи типа «детей». Может быть, они помогут? Пусть Кащей задумал две цифры: а и Ь, тогда Л' = ах +4Ьу. Нет. Ничего нового. Если даже х = О, можно легко найти Ь, но а может быть любым числом. Вот с одной цифрой все очевидно. Но Кащей не может быть таким добрым. Как же быть с тремя цифрами?
Теперь я как будто зашел в настоящий тупик?! Решение уравнения невозможно, несмотря на все мои усилия.
Попробую еще раз внимательно прочитать условие задачи. Кащей задумал 3 цифры. Цифры! Любое число состоит из цифр. Нельзя ли сохранить эти цифры в числе — сумме N? Сумма может быть и трехзначным числом.
Стоп! Кажется, нашел! Трехзначное число abc. Иван-царевич спасен! abc = а ¦ 100 + b ¦ 10 + с ¦ 1. Значит, х = 100, у = 10, 2 = 1».
Итак, при решении этой задачи ваш товарищ вел поиск решения по тем направлениям, которые казались ему полезными, а не наугад (молодец!). Проявлял ли он изобретательность? Высказывал ли догадки, строил ли гипотезы? Конечно. Но каждую догадку он подкреплял рассуждениями, и это очень ему помогало решать задачу и прекращать ненужную работу вовремя.
Что еще поучительного было в его работе? В ходе решения данной задачи он часто использовал родственные задачи (причем задачи более простые), легко выяснял на этих более простых задачах и ситуациях то, что ему было нужно. Попробуйте вернуться к изложению хода решения и найти те места, которые подтверждают это.
Очередной совет решающему задачу можно заменить тремя высказываниями Д. Пойа:
«Обдумай цель раньше, чем начать действовать».
«Мудрый меняет свои намерения, дурак никогда».
«Тот, кто не может обдумать все заново, не может мыслить верно».
Задания для самостоятельной работы <\
Следующие задачи (или хотя бы одну из них) вам нужно не только решить, но и подробно описать свои догадки и рассуждения в процессе решения; обосновать выбор направления в поиске решения задачи (правильного или неправильного). В общем, от вас требуется не только решить задачу, но и описать свои промахи и неудачи, а затем обсудить их всем вместе. Если задачу решить не удастся, у вас останется описание неудач. Это тоже очень важно!
