Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А и В на множестве многомерных последствий х, то вероятностное распределение А по крайней мере не хуже, чем В, в том и только в том случае, когда
где Ea и Ев обозначают обычные операторы математического ожидания, примененные к распределениям А и В соответственно ***>.
*) В гл. 5, 6 в соответствии со сложившейся терминологией в теории многомерной полезности вместо термина «.критерий» используется термин «фактор». Напомним, что в рамках дайной книги это синонимы (см. сноску на с. 45).
**) Для согласования с нашими предыдущими обозначениями функцию полезности нам следовало бы обозначать через и или и(-)у не и(\). Ведь запись и(х), строго говоря, обозначает значение функции и в точке х. Однако в дальнейшем мы иногда будем использовать обозначение м(х), поскольку это позволит упростить представление функции полезности и, как мы надеемся, не повлечет за собой каких-либо недоразумений, хотя и может вызвать некоторую эстетическую неудовлетворенность.
***> Если распределение вероятностей А определяется в терминах функции плотности вероятностей /а(-)і заданной в я-мерном евклидовом пространстве Rn, то
ЕА[и(х)]^Ев[и(х)],
(5.1)
210
Именно это свойство показывает, что ожидаемая -полезность является удобным показателем при выборе среди альтернатив.
В вырожденном случае /выражение (5.1) позволяет сделать заключение о том, что альтернатива хА по крайней мере не хуже, лем альтернатива хв, тогда и только тогда, когда
и (хА) ^ и (хв). (5.2)
В дальнейшем ,мы будем различать два случая в зависимости от того, задана или не задана функция ценности факторов. Функция ценности может быть использована при нахождении функции ,полезности.
5.1.1. Использование функции ценности при построении функции полезности. Возвращаясь к гл. 3, напомним, что функция ценности v(x) =v(xu х2, Xn) устанавливает ранжирование возможных последствий, описываемых с помощью п факторов. Эта функция удовлетворяет выражению (5.2), относящемуся к вырожденному случаю функции полезности. Поэтому согласно определению функция полезности является функцией !ценности, но функция ценности не обязательно является функцией полезности*).
В гл. 3 было приведено несколько методов, которые могут быть использованы для получения функции ценности v(x). Функция v(x) каждому последствию х ставит в соответствие некоторую скалярную величину — его «ценность», поэтому -мы можем рассматривать V как скалярный показатель «ценности», который принимает значения v. Кроме того, поскольку v(xA)>v(xB) тогда и только тогда, когда лицо, принимающее решение, находит хА более предпочтительным, чем хв, то функция полезности должна быть монотонно возрастающей функцией от V. В связи с этим, все подходы к оценке функции полезности в случае одного фактора, обсуждавшиеся в гл. 4, могут быть использованы и при оценке
U[V(X)].
Однако, несмотря на внешнее сходство, эти проблемы в действительности не могут быть признаны идентичными, так как различные уровни (т. е. значения) показателя «ценности» V сами по себе не имеют физической интерпретации для лица, принимающего решение. Процедуры, рассматриваемые в гл. 4, полезны для оценки u[v(x)], но при осуществлении подобной оценки мы обычно должны привлекать интерпретацию исходных факторов Хи X2, Xn. Возможно это станет понятнее при рассмотрении следующего простого примера.
*) К сожалению, не существует стандартной терминологии, и мы вынуждены сами выбрать, какую функцию назвать функцией ценности, а какую — функцией полезности. В литературе нашу функцию ценности иногда называют функцией достоинства, порядковой полезности, предпочтения, полезности Маршалла и даже функцией полезности. Аналогично нашу функцию полезности называют функцией предпочтений, кардинальной полезности, полезности фон Неймана, вероятностной полезности и просто функцией полезности. Хотя мы, очевидно, не в состоянии согласовать использование этих терминов с имеющимися в литературе разночтениями, постараемся, во избежание внутренних противоречий, использовать их в соответствии с приведенными определениями.
211
Пример 5.1. Рассмотрим рис. 5.1 и предположим, что функция ценности v(x\, X2) задана на пространстве факторов Х=Х\ХХ2 при х°і^іХі^Хі*9 /=1,2. Для простоты будем считать, что функция V является непрерывной и возрастающей по обоим аргументам. Предположим также, что для любого последствия (х'и х'2) существует равноценное последствие вида (х\9 х°2)> где x0i^.Xi2^*1*, или вида (xi*9 X2), где х°2 ^ х2 ^ Jc2*. Местоположения всех компонент последствий (Xu Х°2) и (Хх*> X2) указаны на рисунке жирными линиями. Таким образом, если бы мы имели функцию полезности, заданную для всех точек вида (хи х°2) или (*i*f X2), то было бы легко распространить функцию и на все точки (хЇ9 X2) обла-Ряс. 5.1. Установление полезно- ста определения. Если v(x\9 х'2) равно сти последствий для случая, v(x и х2), тогда, очевидно, что и(х и когда функция ценности изве- х'2) должно быть принято равным стна и(х"и х°2)9 а последнее значение уже
известно.
Проблема здесь сводится к нахождению значений и на области, отмеченной на рис. 5.1 жирными линиями, но эта задача значительно проще, чем нахождение значений и на всем множестве X. К тому же процедуры, изложенные в гл. 4, могут быть непосредственно применены при построении двух (условных) функций полезности одного аргумента: щ(х\, х°2)*) от х\ и U2 (х\*, X2) от х2. Единственная дополнительная трудность состоит в том, что для U\ и U2 должны быть выбраны согласованные шкалы измерения. Только в этом случае порождаемая ими функция и будет обладать необходимыми свойствами. Процедура.такого шкалирования обсуждается в § 5.8.
