Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.12. Если гх(х)>г2(х) при всех X9 то щ(х9 х)> >Ti2(X9 х) для всех X и х.
Иными словами, если для и\ локальная несклонность к риску всюду больше, чем для U29 то надбавка за риск к любой лотерее х+х больше при щ9 чем при и2. Это означает, что повсеместное выполнение локального условия влечет за собой естественное глобальное следствие.
Доказательство*). Предположим, что Г\(х)>г2(х). Тогда разность
Ч (х)—(*) = — т" [log U2 (х)) + [log и (х)] = ах ах
.JlftogjiW.]
dX L "2 W J
отрицательна. Поэтому \og[u'i(x)/u'2(x)]— функция убывающая. Заметим, что производная
її і її * /Al
dt U2(U2-1V))
также убывает с ростом t9 поскольку убывает log [u/i(x)/u/2(x))t Следовательно, U\(u-l2(t)) —вогнутая функция от t. С другой стороны, по определению,
Пі(х9 х)=х+Е(х)—щ- 1Ещ(х+х)9 i=l, 2.
*> Это доказательство, данное Праттом (1964), является математически более сложным, чем остальной материал этого параграфа. Подробности доказательства в дальнейшем не потребуются.
160
Вычитая одно из другого, находим
X)-Ji2(X9 х)=и-^Еи2(х+х)—и~^Ещ(х+х)=и-12Е[Ц —
—ti~liEui(u-l2(t)),
где ї=и2(х+х). Так как щ(іг12(і)) вогнута, из неравенства Йен-сена*> получаем
E[U1(UThC*))] <ui(u~l2[E(t)]). Подставляя это в предыдущее выражение, приходим к требуемому результату:
Щ(х9 X)-K2(X9 x)>u-hE(l)-u-huiU-h[E(t)]>u^2E(t)--и-і2;[?(?)]>0.
Следует отметить, что установленный выше результат не тре* бует введения ограничений на знаки т\ и г2. Таким образом, ут~ верждение справедливо как для склонных, так и для не склон» ных к риску лиц, принимающих решения.
Представляется уместным пояснить следствия из предыдущего результата. В примере 4.9 мы показали, что функция несклонности к риску при и(х)=а—Ье~сх равна с. В табл. 4.4 указано, что надбавка за риск к <0, 10> равна 2,15, если ?—0,2, и 1,2, если с=0,1. Это иллюстрируется рис. 4.10, где принято щ(х)=4 =а{—Ьг0'2х, и2(х)=а2—Ь2ег°Лх и положено Wi(O)=M2(O)=O и r/i(10)=a2(10) = l. Наш результат показывает, что поскольку г\(х)>г2(х) ПРИ всех х> Для <0» Ю> должно быть больше, чем U2 для <0, 10>. Рис. 4.10 это подтверждает.
Рис. 4.10. Связь между надбавкой за Рис. 4.11. Связь между функцией не-рнск и функцией несклонности к склонности к риску и надбавкой за риску риск при и(х) =—е~сх
На рис. 4.11 показана зависимость надбавки за риск и детерминированного эквивалента для <0, 10> от параметра с функции полезности и(х) = —е~сх (при несклонности к риску). Как и сле-
*> См. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. *— M.: Мир, 1967. Т. 2.
6-67 161
довало ожидать, надбавка за риск к лотерее возрастает, а детерминированный- эквивалент уменьшается по мере того, как возрастает несклонность к риску. Для всех значений с надбавка за риск и детерминированный эквивалент в сумме равны ожидаемому выигрышу (который в данном примере всегда равен 5).
4.6. ПОСТОЯННАЯ, УБЫВАЮЩАЯ И ВОЗРАСТАЮЩАЯ НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В предыдущих параграфах мы говорили о надбавке за риск п(х, х) к лотерее X при фиксированной опорной точке ху т. е. для лотереи х+х. Очень интересен вопрос: что происходит с я (л:, х) при увеличении х? Больше или меньше будет надбавка за риск для больших значений х? Часто бывает так, что по мнению лица, принимающего решение, с ростом х надбавка за риск, которую нужно выплатить дополнительно к х, уменьшается. Такое поведение, как мы покажем в этом параграфе, налагает сильные ограничения на форму функции полезности. Рассматривая саму функцию полезности, трудно выяснить, имеют ли место такие особенности предпочтений. Однако они очень заметны при рассмотрении функции несклонности к риску г.
Рассмотрим для несклонного к риску индивидуума надбавку за риск п(х, h) к лотерее <x+h, х—h> при возрастающей функции полезности. Ясно, что я положительна при любых х. Однако может представляться разумным, что надбавка за риск к этой лотерее будет уменьшаться с ростом х. Для иллюстрации ситуации, в которой такое поведение может быть уместным, предположим, что X характеризует конкретное денежное состояние лица, принимающего решение, a h — некоторую денежную сумму. Для большинства людей на основе их опыта кажется верным то, что по мере увеличения состояния они будут требовать меньшую надбавку за риск при фиксированном риске. Они рассуждают так: становясь богаче, они могут позволить себе пойти на известный риск и поэтому в меньшей степени будут стараться его избежать. Из этого рассуждения следует, что страховая сумма для неблагоприятной лотереи (т. е. лотереи, которая менее предпочтительна, чем^существующее положение) уменьшается, когда мы становимся богаче, и растет, когда мы беднеем.
Формализуем это поведение, которое интуитивно присуще большинству людей.
Определение. Индивидуум обладает убывающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск тс(х, х) в любой лотерее для него уменьшается при увеличении опорной суммы X.
Опираясь только на приведенные выше результаты, весьма трудно выяснить, вытекает ли из конкретной функции полезности подобное поведение. Для доказательства этого факта потребовалась бы исчерпывающая проверка всех возможностей лотерей х. К счастью, Пратт доказал один важный результат, который
