Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Изменение линеаризации безразличия
В преобразованных координатах х и z кривые безразличия оказываются параллельными прямыми. Если коэффициент замещения между X и У не являлся постоянным, то теперь имеет место постоянство коэффициента замещения (равного 1) между X и Z1 где Z=Vy(у). В пространстве оценок (х, z) соответствующей функцией ценности является
v(x9 z)=x\-z. (3.17)
3.4.5. Условие соответственных замещений: аддитивная функция ценности. В общем случае предельный коэффициент замещения в точке (х\9 у\) зависит от уровня х\ и уровня у у. Допустим, однако, что можно преобразовать шкалу X в шкалу W и шкалу У в шкалу Z так, что коэффициент замещения в (Wi9 Z\) не будет зависеть от уровней Wx и г\. Тогда мы будем иметь случай постоянного коэффициента замещения, разобранный в п. 3.4.3.
Аддитивная функция ценности. Рассмотрим четыре точки А: (*и */і), В: (хЇ9 у2)9 С: (х2у у\) и D: (x2t у2)9 изображенные на рис. 3.16. Предположим, что справедливо следующее:
1. В точке (х\9 у2) за увеличение У на Ь мы согласны заплатить а единиц X.
2. В точке (х\9 у2) за увеличение У на с может быть заплачено а единиц X.
98
і і
^ 4 Y iff.
I I
L
3. В то же время в точке (x2t у\) за увеличение У на Ь мы согласны заплатить d единиц X.
Сколько единиц X мы согласимся заплатить за увеличение Y на с в точке (Jt2,' г/г)? Если цена составляет d единиц X (т. е. на рис. 3.16 вместо вопросительного знака (?) следует поставить d) и если это справедливо при любых значениях Xu х2, уи У2, Ь, с и d, то мы говорим, что удовлет-воряется условие соответственных замещений. Этот критерий дает нам необходимые и достаточные условия справедливости одного важного вывода. Но вначале определим понятие аддитивности, $ которое облегчит формулировку приведенной ниже теоремы.
Определение. Структура пред-, $7 "&
почтения аддитивна, если существует отражающая эту структу- Рис. 3.16. Коэффициенты замещения ру функция ценности, которую согласуются с аддитивной функцией rj ' rj ценности, когда (?) равен а
можно представить в виде v / г
v(x, y)=vx(x)+vY(y).
Если, например, анализируемая структура предпочтений описывается функцией ценности
М*> У) = (х—<И)*{У—1Ь\)Ь> то данная структура предпочтений также будет аддитивной, так как
logui(a:, у) = a2\og(x— си) +?2log (Jd-ci2)
и аддитивная функция v может быть определена как logui.
Теорема 3.2. Структура предпочтений аддитивна и, следовательно, описывается функцией ценности вида
v(x, y)=vx(x)+vY(y), (3.18)
где Vx и Vy — функции ценности, тогда и только тогда, когда выполняется условие соответственных замещений.
Ясно, что если задана аддитивная функция ценности, то условие соответственных замещений удовлетворяется. Однако обратное утверждение, установленное Льюсом и Тьюки (1964), доказать значительно сложнее. В следующем пункте, в котором с целью иллюстрации построения аддитивной функции ценности изложена процедура совместного измерения, дано нестрогое доказательство теоремы 3.2. Строгое доказательство здесь не приводится.
3.4.6. Совместное шкалирование: поэтапная процедура. Предположим, что условие соответственных замещений, влекущее за собой существование функций Vx и uy, удовлетворяется. Как можно было бы действовать, чтобы найти эти функции? Одна из процедур, которую мы могли бы применить, состоит в следующем.
Пусть Xo и уо — наименьшие значения критериев X и Y9 которые целесообразно рассмотреть. 1. Полагаем
f (*ть Уо) = я* (*о) = (Уо) = 0.
(3.19)
Этим устанавливается начало отсчета для измерения.
2. Выберем лгі>л;о и положим vx(xx) = l. Этим устанавливается единица измерения.
3. Попросим лицо, принимающее решение, указать значение критерия У (т. е. у\) у такое, чтобы (хІ9 у0) ~ (Xq9 ух) у где символ ~ • означает «одинаковы по предпочтительности». Положим МУі) = 1.
4. Попросим лицо, принимающее решение, указать значения критериев X (т. е. X2) и У (т. е. у2)9 такие, чтобы (х29 yQ) ~ (хІ9 У\)~(хо, У2). Полагаем vx(x2)=vY(y2)=2.
5. Необходимое условие для оправданности этой процедуры со-
предпочтительности. 6. Предполагая, что шаг 5 сделан, попросим принимающего решение выбрать точки (#3, г/3) так, чтобы выполнялось
Полагаем Vx (хз) = vY(Уз) =3.
7. Как и на шаге 5, необходимое условие для оправданности данной процедуры состоит в том, чтобы имело место
При желании можете проверить, что сказанное вытекает из условия соответственных замещений.
8. Продолжаем действовать подобно тому, как действовали ранее.
9. Нанесем на график полученные таким образом точки (рис. 3.18) и проведем через них «на глаз» гладкие кривые Vx и vY. Тогда согласно сделанным предположениям v(x9 V)=1Vx(X) + H- Vy (у).
стоит в том, чтобы имело место : Х*ь у2) ~(х2у Ух)- Но, как легко усмотреть из рис. 3.17, это условие выполняется, если справедливо условие соответственных замещений. Сравните рис. 3.17 с рис. 3.16 и отождествите точки, обозначенные на них буквами А, В, С и D. Из условия соответственных замещений следует, что на
тений
рис. 3.17 расстояние в единицах^ от В до D должно быть равным d, и, следовательно, точки DuE должны быть одинаковыми по
