Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
6.11. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И УСЛОВНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
Предположим, что факторы в какой-либо конкретной задаче удалось структуризировать так, как показано на рис. 6.4. Более того, предположим, что факторы Yi и Y2 являются взаимонезависимыми по полезности. Тогда из теоремы 5.2 следует, что
и (Уи Уг) = hui (уі) + k2u2 (у2) +kx2ui (уі) U2 (у2), (6.105)
где все функции полезности шкалированы от 0 до 1. Заметим, что, вычисляя выражение (6.105) в точках y°i и у°2, которые являются
Рис. 6.4. Иерархическая структура рассматриваемых факторов
X
Уг
Xf Xz Х$ Xb X5
наименее предпочтительными значениями факторов Yx и Y2 соответственно, можно найти
иї(Уі)=иІУь y°2)/ki и щ(у2)=и(у°и y2)/k2.
Дело в том, что .в действительности каждая из функций щ и U2 является условной функцией полезности, определенной на соответствующей области изменения одного из факторов при определенном, фиксированном значении другого фактора. Вследствие допущения о независимости по полезности условная функция полезности для Yu например, всегда одна и та же независимо от значения фактора Y2. Поэтому для определения функции и(уи у2) необходима лишь одна условная функция полезности для фактора Y1.
И* 51Q«
Весьма логично будет .на следующем шаге в процессе нахождения функции и попытаться найти такие функции f\ и f2, что
иі(Уі)=М"'і(*і). W2(X2)], «2(^2)=/2^3(^3), W4(X4), и'ь(х5)],
где через Ui обозначены функции !полезности, построенные на соответствующих областях своего определения. Из ранее полученных результатов следует, что это можно сделать, если Xi^Ul, J—1, 2, 5. Однако ©следствие большой размерности проверка таких допущений может вызвать затруднения. К счастью, столь сильные допущения не являются необходимыми. Поскольку фактор Fi не зависит по полезности от Y2, надо лишь проверить, является ли фактор Xi условно независимым по полезности от X2, если значение фактора Y2 установлено, например, на уровне у°2.
Можно сделать и более общее утверждение. Если уже установлено, что подмножество 'факторов Y не зависит по полезности от У, то во всех формулировках двух предыдущих глав можно говорить о предпочтениях и функциях полезности на подмножестве факторов из У, не рассматривая при этом значения 'факторов из У. Последние могут быть зафиксированы на некотором удобном уровне. Основываясь на этом, можно определить ряд полезных понятий условной предпочтительности.
6.11.1. Допущения об условной независимости. Понятия условной независимости интересны по трем следующим причинам:
1. Справедливость определенных допущений об условной независимости позволяет упростить структуру многомерных функций полезности.
2. Условная независимость является необходимым условием для справедливости допущения о «безусловной» независимости. В то же время проверка справедливости предположений об условной независимости в ряде случаев требует меньшего объема эмпирической информации. Это весьма существенно, когда мы рассматриваем возможность опровержения справедливости допущений о «безусловной» независимости.
3. Допущения об условной независимости, являясь основой достаточных условий для справедливости допущений о безусловной независимости, позволяют установить существование определенных функциональных видов функций полезности при более слабых .предположениях. Тем самым облегчается проведение необходимых проверок.
После определения понятий условной независимости каждое из них будет подробно рассмотрено.
Для того чтобы формализовать предложенные идеи, рассмотрим множество факторов X=\XU X2, Xn}, а также его разбиение на три непустых подмножества: Yu Y2 и Уз. Будем говорить, что Yi условно не зависит по предпочтению ют Y2 при заданном у+з, если порядок предпочтительности последствий, отличающихся лишь значениями факторов из Yi, не 'зависит от значений Y29
324
когда значение Уз установлено на уровне #+з. Математически это условие можно выразить следующим образом: при любых у\ , У"и у\
[(Уь Уъ У+ъ)>(у"и У'2> У+г)] ^Wu Уь У+г)>
>(у"иУ2, У+г)]У У2 (6.106)
Аналогично, Yx условно не зависит по полезности от Y2 при заданном #+з, если порядок предпочтительности лотерей, все исходы которых (т. е. реализующиеся последствия) отличаются лишь значениями факторов из Уь не зависит от значений Y2, когда значение Уз установлено на уровне у+з. Это условие математически может быть представлено следующим образом: для любых лотерей у'и у"\ при любом у'2
[(Уь У'2, У+г)>(у"и У'2, У+з)] Ч> Ш'и У>, У+г)>:
>(У"ь у», Уз+)], V у* (6.107)
Эти определения естественным образом (вытекают из исходных определений независимости по предпочтению и независимости по полезности.
Если задана функция полезности и, то выражение (6.106) справедливо тогда и только тогда, когда
ЫУ'и У* 2, У+з) > (*/"ь У'2, */+з)Н Му'и У2, У+г)>
>и(у\у2,у+*)]У у2. (6.108)
Аналогично, выражение (6.107) справедливо тогда и только тогда, когда
"(Уи У2, У+з)=с(у2)+а(у2)и(уи у'2, y+z), d(y2)>0, (6.109)
где у'2 — произвольно выбранное значение. Как выражение (6.108), так и выражение (6.109) оказываются весьма полезными при получении следствий из допущений об условной независимости.
