Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
15 7
10) / = 5у? - у| - 5у2, р = у2 + у2 + yi; xi = -^=уі + -^ДУ^ + "J^3'
Х2 = + ?ЛУ2" ^ДУ31 хз = "АУ2 + ^уз;
И) / = Зу2 + 3yjj - Зу|, у = у\ + у2 + у!; xi = -^yi + -ду2 - Уз,
/- 2 2
х2 = уЗуз, X3 = ~~~^У2 + у^3'
2 2 8
12) / = Уі + у2 + УЗ) P = 14у2; xi = -^= у і + -^=у2 + ~^ЩУ^^ Х2 =
+ ТъУ2 + 7ГоУ3'хз = 7ПШ + 7ГоУз>
13) / = у\ + 2у2 - у2, р = у2 + у2 + уз + у2; yi = Xi - х2, у2 = X2 - х3,
УЗ = Хз - Х4, У4 = Х4;
14) / = 3y2 + 3y! + 6yl-6y2, g = -yl-yl-yl-yh xi = -^=yi - ^2/2 +
67 8258 31
-^y3 + -^y4, X2 = ^y1 - ^y2 + -^y3 -^У4,х3 = -т - ^y2 +
^Уз + ^y4, X4 = -Lyi - -Ly2 + -Ly3 + -Ly4,
15) / = 2у2 + 2у| + 2у| - 2у2, P = у2 + у2 + у2 + у2; xi = yi + у2 + уз + у а , х2 = (yi + у2 + уз + Зу4)/2, X3 = уз + У4, X4 = (-yi + у2 + уз + У4)/2.
69.20. Указание. Поанализировать соотношение SH BS = (SH AS)D,
эквивалентное данному в задаче, и показать, что матрицы SH BS и SH AS квазидиагональные и имеют согласованную блочную структуру.
69.21. Указание. Воспользоваться задачей 62.49.
246
Ответы и указания к § 70
69.22. 1) / = у\ + yl + !буї, д = 2у\ - Ъу23; Уі = (2xi + X2 + х3)/ч/б, 2/2 = {-x2 + х3)/\/2, уз = (-si + + х3)/\/3;
2) / = -У? - 2/2 + 52/3, ? = 6Уз5 Уі = (Я2 - х3)/\/2, у2 = (жі - х2 - х3)/\/3, уз = (2xi + X2 + x3)/у/Е;
3) / = Зу? - 2у2 + буї, р = -бу2 + 62/2; yi = (xi - X2 + х3)/\/3, 2/2 = (xi - хз)/у/2, уз = (xi + 2х2 + x3)IVd)
4) / = 5у2+у2 - уз -у\, 9 = Уі+5у2 + у2 + у2; Уі = (xi +X2+ X3+ х4)/2, у2 = (xi - х2 + X3 - х4)/2, уз = (xi - x3)Iу/2, уа = (х2 - х4)/\/2.
69.23. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется.
69.24. 1) Формы / и h ортогонально эквивалентны, но ни одна из них не является ортогонально эквивалентной форме д; 2) формы д и h ортогонально эквивалентны, но ни одна из них не является ортогонально эквивалентной форме /.
69.25. Указание. Так как матрица АТА положительно определена, то существуют верхняя треугольная матрица S и диагональная матрица D с положительными элементами на главной диагонали такие, что АТА = STDS. Переписать последнее равенство в виде АТА = (Dl/2S)T(Dl/2S) и положить R = D1^2S. Если матрица А имеет два представления А = QiAi = Q2R2, то матрица Q21Qi = R2R^1 одновременно ортогональная и треугольная с положительными диагональными элементами, и значит, она единичная.
69.26. Указание, а) Так как матрица АТА положительно определена, то существуют ортогональная матрица P и диагональная матрица D с положительными элементами на главной диагонали такие, что АТА = P DP. Тогда матрица Bi =
pTDl/2p
является квадратным корнем из матрицы АтА, а матрица Qi = AB^1 ортогональна. Единственность матрицы Bi следует из единственности квадратного корня из матрицы АТА. в) Утверждения следуют из единственности представлений, указанных в пунктах а) и б).
70.1. Да. 70.2. Нет.
70.3. Да, только если p(t) > 0 и p(t) ф 0. 70.4. Да.
70.11. Указание. Показать, что равенство (х, у). = |(||х + 2/||2 - ||х -
у||2) задает в V скалярное произведение.
70.13. Указание. Использовать числовые неравенства:
верное для всех р > 2 и z Є [0,1], и
/ , р/(р-1) р/(р-1)\р-1 -
u+v u-v \ 1 р р
[— "Г" J <2(НР + Ю,
верное для всех р Є (1, 2] и u, v Є Ш.
70.19. Указание. Воспользоваться неравенством Гёльдера.
§70
Ответы и указания к § 71
247
70.20. ||х||2 < INIi < VnIMI2, Ыоо < \\x\U < пЦхЦос, Moo < 1к||2 <
V^n||x||oo, где п - размерность пространства.
70.21. Константа с\ равна наименьшему, а константа C2 - наибольшему сингулярному числу матрицы А.
70.24. Указание. Показать, что такая норма может быть введена равенством ||х|| = р(х,в).
70.28. Евклидова норма двойственна к себе относительно порождающего ее скалярного произведения.
70.29. Нормы У • 11оо и Il • Ці двойственны друг к другу.
70.30. Неравенство Гёльдера.
70.31. Двойственная норма определяется равенством ||хII* = ||(#*)~1х11<?> где p_1 + q~l = 1 при р > 1 и q = оо при р = 1.
70.32. а) ||х||* = \\Ax\\q; б) \\х\\* = \\(В*)~lAx\\q, где q такое же, как и в предыдущей задаче.
70.34. Указание. Использовать задачу 70.27.
§71
71.2. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в C(V, W). Тогда За > 0: VA Є C(V, W) выполнено неравенство аМ(А) < \\А\\. Рассмотреть ао = а/2.
71.4. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в C(V, W). Тогда За > 0: V.4 Є C(V, W) выполнено неравенство ||Л|| < аМ(А). Показать, что норма N(A) = аМ(А) согласована.
71.5. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в C(V1W). Использовать тот факт, что За > 0: VA Є C(V, W) выполнено неравенство а||Л|| < M(A).
71.9. Нет. Указание. Рассмотреть норму iV(A) = max{||j4||i, ||А||оо}.
71.10. Указание. Учесть, что K(I) = п > 1.
71.12. Указание, а) Рассмотреть матрицу А, все элементы которой равны единице; б,в) найти значение M(I).
71.13. Указание. Рассмотреть норму п(х) вектор-столбца х Є Сп, задаваемую равенством п(х) = || [ х 0 ... О ] ||.
71.14. а) Наибольший из модулей диагональных элементов; б) наибольшая из спектральных норм диагональных клеток.
