Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
57.17. Если А - собственное значение матрицы А, то ReA и ImA суть собственные значения вещественной и мнимой частей матрицы А соответственно.
57.18. Если X - собственный вектор матрицы В = S-1AS1 то у = Sx -собственный вектор матрицы А.
57.19. а) Нет; б) нет; в) нет. Указание. Сравнить следы, ранги, определители данных матриц.
57.20. а) А; б) А; в) А подобна L>2, В подобна Di.
57.21. J3(-l). 57.22. С. 57.23. Нет.
57.25. а) /(А) = А2 — 2Acos<p + 1; при (р = 0: собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор; при (р = 7г: собственное значение —1, собственным вектором является любой ненулевой вектор; при остальных (р собственных значений нет;
б) /(А) = (—A)(A2 — 2Acos ср +1); при любом (р есть собственное значение О и собственные векторы а а, а ф 0; кроме того, при (р = 0: собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор, ортогональный а; при <р = 7г: собственное значение —1, собственным вектором является любой ненулевой вектор, ортогональный а;
в) /(А) = —А3 — |а|2А2; собственное значение 0, соответствующие собственные векторы а а, а ф 0;
г) IW = (1 ~ Х)к(-Х)п~к, где к = dim Li, п = dim У; собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Li, и собственное значение 0, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Li\
д) /(А) = (1 - А)*(-1 — Х)п~к, где к = dim Li, п = dimV; собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Li, и собственное значение —1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из L2;
Ответы и указания дс §57
213
е) /(Л) = (-A)n+1; собственное значение 0, собственным многочленом является любой многочлен нулевой степени;
ж) /(А) = А2 + 1; собственных значений нет.
57.28. Указание. Воспользоваться следующими тождествами Ньютона: kan-k + (tr A)an-k+i + (tr A2)an-k+2 + ... + (tTAk)an = 0, k = l,n, где antn + an-i?n_1 + ... + ait + ao - характеристический многочлен матрицы A.
57.29. \A\ = —2. Указание. Найти собственные значения матрицы
А.
57.31. Ai = 3, собственным вектором является любой ненулевой вектор.
57.32. Ai = 2, собственные векторы имеют вид a(l, 1 + г)т, а ф 0.
57.33. Ai = 1, A2 = 3, собственные векторы соответственно равны а(-5,ІЗ + 4г)т, a(l, -if, а ф 0.
57.34. Ai = 1, A2 = 2, Аз = 3, собственные векторы соответственно равны а(1,1,1)т, а(1,0,1)т, а(1,1,0)т, а Ф 0.
57.35. Ai = 3, A2 = 6, собственные векторы соответственно равны a(0,l,-lf, a(3,4,-2f, a / 0.
57.36. Ai = 3, A2 = 6, собственные векторы соответственно равны а(-7, 5, -6)т + ?(2, -1,1)т, а2 + ?2 ф 0, и а(1,1, -3)т, а # 0.
57.37. Ai = 0, собственные векторы равны a(l, 1,0)т + ?(0,1,2)т, а2 +
57.38. Ai = —2, A2 = —1, Аз = 0, собственные векторы соответственно равны a(0,2,1)т, a(l, 1, -1)т, а(2, 2, a ^ 0.
57.39. Ai = 1, A2 = —1, собственные векторы соответственно равны a(2,1,0)т + ?(l, 0, -1)т, a2 + /92 ^ 0, и а(3,5, б)т, а # 0.
57.40. Ai = —3, A2 = —1, Аз = 1, A4 =3, собственные векторы соответственно равны а(1, -3, 3, -1)т, а(1, -1, -1,1)т, а(1,1, -1, -1)т, а(1, 3,3,1)т,
57.41. Ai = 0, A2 = 2, собственные векторы соответственно равны a(0,l, 0,-lf, a(0,l,0,l)T, a / 0.
57.42. Ai = 0, Аг = 2, собственные векторы соответственно равны а(2, -1,0, Of + ?{3,0,0,-I)7Ha(I1-I10,1)т + ?(0,0,1, Of, a2 + ?2 ф 0.
57.43. Ai = 3, собственные векторы равны a(l, 0,0, —if +/9(O101110)т, a2+?2ф0.
57.44. а) Нет собственных значений; б) Ai,2 = 1 ± 2г.
57.45. а) Ai = 2; б) Ai = 2, А2,3 = (1 ± »л/3)/2.
57.46. а) Ai = -1, A2 = 5; б) Ai = -1, A2 = 5, А3,4 = 2 ± г.
57.47. а) Нет собственных значений; б) Ai12 = ±г, Аз,4 = ±2г. Указание. Ко 2-й строке определителя \А — \1\ прибавить 3-ю строку.
57.48. Ai = 0, A2 = 4, А3,4 = 2 ± 2у/2.
57.49. Собственное значение Ao алгебраической кратности п, собственные векторы равны aei, а ф 0.
57.51. Указание. При доказательстве необходимости использовать результат предыдущей задачи.
57.52. А і,..., An, Ai,..., An•
57.53. Ai = 0, собственные векторы равны a(l, 1,0,1)т + /9(0,1,1,0)т, a2+?2ф0.
214
Ответы и указания к §57
57.54. Ai = 0, собственные векторы равны а(1,0,0, — 1)т+/9(0, —1, 2,0)т а2+/?2/0.
57.55. Ai = 2, собственные векторы равны с* ? q q j + /9 ? _ 1 0 ]' а2+/?2/0.
57.56. a) Ai = 0, собственные векторы равны al+? q j, а2 +/92 ф 0; б) Ai = 0, а2,з = ±2, собственные векторы соответственно равны al +
J ;],а2+/?2#0,а[ J :}],«[_! _1],а^0;
в) Ai = 0, а2,з = ±2г, собственные векторы соответственно равны al + ? "J ],|а| + |/?|#0,а[ *І 4 ],а#0.
57.57. Ai = 0, A2 = —3, собственные векторы соответственно равны а(1 - 2* + *2) + /9(-2 + 7* - 5*3), а2 +/92 ф 0, а(*2 - *3), а / 0.
57.58. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые векторы (ori,... ,ап)Т, ортогональные вектору у: Г= і dij/i = 0, и A2 = Xl"=i 2W» собственными векторами являются векторы /9х, ? ф 0.
57.59. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые векторы (е*і,..., ап)Тcti + • •. + Ctn = 0, и A2 = п, собственными векторами являются векторы /9(1,..., 1)т, ? ф 0.
