Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
§63. Унитарные операторы и матрицы
109
X Є V.
1. Доказать, что оператор Л имеет простую структуру.
2. Показать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
3. Вывести из полученных выше свойств, что Л - унитарный оператор.
63.46. Доказать, что любая квадратная комплексная (вещественная) матрица А может быть представлена в виде
А = QR1 (63.3)
где Q - унитарная (ортогональная) матрица, R - правая треугольная. Представление (63.3) называется QR-pизложением матрицы А.
63.47. Пусть А = QiRi и А = Q2R2 - два (ЗД-разложения невырожденной матрицы А. Доказать, что найдется унитарная (ортогональная) диагональная матрица U такая, что
Q2 = q1c/, R1 = UR2.
63.48. Доказать, что для матрицы R из разложения (63.3) имеет место равенство А* А = R*R.
63.49. Найти условие на вектор-столбец W1 при выполнении которого матрица вида
H = I- 2wwH (63.4)
является унитарной.
63.50. Пусть w - нормированный вектор-столбец. Доказать, что соответствующая ему матрица (63.4), рассматриваемая как оператор арифметического пространства со стандартным скалярным произведением, задает в нем ортогональное отражение. Такая матрица H называется матрицей отражения.
63.51. Для матрицы отражения найти:
а) собственные значения и собственные векторы;
б) ее определитель.
63.52. Показать, что всякая унитарная матрица, все собственные значения которой равны 1 и —1, причем собственное значение —1 простое, может быть представлена в виде (63.4).
со со тт Г C0Sa Sma
63.53. Показать, что матрица . есть матри-
[ sin a — cos a J
ца отражения. Найти соответствующий ей вектор w.
по Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
63.54. Показать, что вектор w можно выбрать так, чтобы порожденная им матрица отражения переводила заданный вектор X в вектор, коллинеарный единичному столбцу Єї (предполагается, что сам вектор х не коллинеарен е\).
63.55. Используя результат предыдущей задачи, построить алгоритм получения фД-разложения квадратной матрицы.
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется самосопряженным, если
A = А*.
Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитовым, а в евклидовом пространстве - симметрическим.
Квадратная матрица А (комплексная или вещественная) называется самосопряженной, если А = Ан. Комплексную самосопряженную матрицу называют эрмитовой, а вещественную - симметрической или вещественно-эрмитовой (очевидно, для симметрической матрицы: А = АТ).
Из определения вытекает, что:
1) самосопряженный оператор нормален;
2) оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом орто-нормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу;
3) определитель самосопряженного оператора веществен;
4) если подпространство L инвариантно относительно самосопряженного оператора А, то ортогональной дополнение LL также инвариантно относительно А;
5) самосопряженный оператор на любом своем инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор.
Теорема 64.1 (спектральная характеристика самосопряженного оператора). Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны, или, в другой формулировке, оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, самосопряжен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет вещественную диагональную форму, или, в матричной формулировке, нормальная матрица (комплексная или вещественная) является самосопряженной тогда и только тогда, когда она унитарно подобна вещественной диагональной матрице.
Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется косоэрмитовым (соответственно, ко со симметрическим), если
А* = -А.
Квадратная комплексная матрица называется косоэрмитовой, если АИ = —А. Квадратная вещественная матрица называется кососимметри-ческой, если АТ = —А.
Из определения следует, что оператор А косоэрмитов (кососимметри-чен) тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
111
базисе пространства косоэрмитова (соответственно, кососимметрична).
Теорема 64.2. Линейный оператор А в унитарном пространстве эрмитов тогда и только тогда, когда оператор iA косоэрмитов.
Из этой теоремы следует, что все свойства самосопряженных операторов переносятся на косоэрмитовы (кососимметрические) операторы с той лишь разницей, что в последнем случае все корни характеристического многочлена чисто мнимые.
ЗАДАЧИ
64.1. Доказать, что множество всех самосопряженных операторов, действующих в унитарном (евклидовом) пространстве образует аддитивную группу.
64.2. Пусть V - евклидово пространство. Доказать, что в линейном пространстве C(V1 V) множество всех симметрических (кососимметрических) операторов образует линейное подпространство. Справедливо ли это утверждение для эрмитовых (косоэрмитовых) операторов, действующих в унитарном пространстве Vl
