Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что Wx0 = кег(Л — AoX), поэтому собственное подпространство является линейным подпространством пространства V.
Размерность собственного подпространства Wx0 называется геометрической кратностью собственного значения Ао, а кратность Ao как корня характеристического многочлена называется его алгебраической кратностью.
8
Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 57.6. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.
Теорема 57.7. Сумма собственных подпространств оператора, отвечающих различным собственным значениям, является прямой суммой.
Пример 57.3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
0 1—11 -12-11 -11 10 -11 0 1
Решение задачи на собственные значения и собственные векторы состоит:
а) в вычислении корней характеристического многочлена и отборе тех корней, которые принадлежат основному полю, так как только они являются собственными значениями;
б) в отыскании для каждого найденного собственного значения Ao максимальной линейно независимой системы собственных векторов, т.е. построении фундаментальной системы решений однородной системы уравнений
{А - X0I)x = 0.
Для указанной матрицы А, во избежание вычисления корней многочлена четвертой степени, будем находить эти корни, минуя прямое построение характеристического многочлена и вычисляя определитель матрицы А — XI методом выделения линейных множителей (§7). Имеем
det(A - XI) =
-Л 1 -1 1
-1 2-А -1 1
-1 1 1-А 0
-1 1 0 1-А
С вычтем из 1-й Ї = < строки 2-ю, а из > t 3-й строки 4-ю J
= (А-1)2
[ - -А А — 1 0 0
-1 2 — А -1 1
0 0 1-А A-I
¦1 1 0 1-А
-1 1 0 0
2 -1 2 -А -1 1
0 0 -1 1
-1 1 0 1-А
вынесем из 1-й и 3-й строк общий множитель
прибавим ко 2-му столбцу 1-й, а к 4-му столбцу 3-й
= (А-1)2
-1 -1 0
-1
о о
1-А -1
0 -1
1 0
0 0 0
1-А
= (А-1)4
Отсюда следует, что матрица А имеет единственное собственное значение A = I, алгебраическая кратность которого равна четырем.
Собственные векторы, отвечающие этому собственному значению, являются ненулевыми решениями однородной системы
-1 1 -1 1 0 '
-1 1 -1 1 0
-1 1 0 0 0
-1 1 0 0 0
§57. Собственные значения и собственные векторы
9
эквивалентной (метод Гаусса) системе
Г -1 1 [ О о
-1 110 -1 10
для которой решения ei = (1,1,0,0) и Є2 = (0,0,1,1) образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, все собственные векторы имеют вид а(1,1,0,0)т + /3(0,0,1,1)т, а2 + ?2 ф 0. .
Пример 57.4. Линейный оператор Л, действующий в вещественном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу
-1 0 0 0
0 -1
0
0 0 0 0 0 1 -1 2 1 1
-1
о о
0 о -1 1 -1 1
1 о
0 1 J
Найти все собственные подпространства оператора А.
Решение. Найдем собственные значения оператора А. Так как характеристические многочлены оператора и его матрицы в любом базисе совпадают, то построим характеристический многочлен матрицы А. Имеем
det(A - XI) =
¦і
применим теорему Лапласа к первым двум строкам
-Л -1 0 0 0 0
1 -Л 0 0 0 0
0 0 -Л 1 -1 1
0 0 -1 2 — Л -1 1
0 0 -1 1 1-Л 0
0 0 -1 1 0 1-Л
-Л 1 -1 1
1 -Л -1 -1 2-Л -1 1
1 -Л -1 1 1-Л 0
-1 1 0 1 - Л
= { см. пример 57.3 } = (Л2 + I)(A - I)4. Корнями характеристического многочлена являются числа ±t, 1, а собственным значением является только A = I (так как оператор действует в вещественном пространстве), алгебраическая кратность которого равна четырем.
Собственное подпространство, отвечающее этому собственному значению, совпадает с кег(Л — X) или, в координатной форме, с множеством решений однородной системы (А — I)x = 0, т.е. системы
г -1 -1 0 0 0 0 0 -і
1 -1 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 -1 1 0
0 0 -1 1 -1 1 0
0 0 -1 1 0 0 0
. 0 0 -1 1 0 0 0 J
эквивалентной системе
¦ 1 0 0 0 0 0 0 '
0 1 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 0 0 0
0 0 0 0 -1 1 0
10
Глава XV. Структура линейного оператора
Ранг матрицы этой системы равен четырем, а векторы е\ = (0,0,1,1,0,0)т и Є2 = (0,0, 0,0,1,1)т образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, размерность собственного подпространства равна двум, а базис собственного подпространства составляют векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с е\ и ег. ¦
Пример 57.5. В вещественном пространстве Мз многочленов степени не выше трех дан линейный оператор Л, который многочлены 1, ?, ?2, t3 переводит соответственно в многочлены — t — t2, 1H- 2t H- ?3, 1H- 2t2 H-?3, t H-t2. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Л.
Решение. Согласно определению матрица оператора Л в базисе е, состоящем из многочленов 1, ?, ?2, ?3, равна
0 110 -12 0 1 -10 2 1
0 110
Вычислим характеристический многочлен матрицы Ле, а следовательно, и оператора Л:
det(Ae - AJ)
-Al 10
-1 2-А 0 1
-1 0 2-А 1
0 1 1-А
С вычтем из 1-й 1 = < строки 4-ю, а из > = t 2-й строки 3-ю J
-АО OA
0 2-А А - 2 0
-1 0 2-А 1
0 1 1-А
= A(A- 2)
-1 0 0 1
0 -1 1 0
-1 0 2-А 1
