Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(б) xp + yq = Q.
Из характеристических уравнений х' = х, у' = у получаем:
х — Ае*, у ' Be1
(А, В — произвольные постоянные). Следовательно, характеристические кривые — это лучи, лежащие в плоскости XOY и выходящие из начала координат. Интегральными поверхностями являются те непрерывно дифференцируемые поверхности, которые могут быть построены параллельным перемещением этих лучей вдоль оси z (рис. 5). Единственными интегральными
2.5] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 21
поверхности — те непрерывно дифференцируемые поверхности, которые могут быть построены параллельным перемещением этих окружностей вдоль осн zt т. е. все гладкие поверхности вращения, имеющие ось z в качестве оси вращения и не имеющие ни в одной точке вертикальной касательной плоскости ') (рис. 6).
2.5. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений. Этот метод будет изложен на двух примерах.
(а) аур-\- bxq — 0.
Для каждого решения х — х if), у — у (0 характеристической системы* х' - ау, у' — Ьх
справедливо соотношение
Ьхх' — ауу' = 0 или {Ьх2 — ау2) = 0,
показывающее, что функция ф (лг, у) = Ьх2 — ау2 постоянна вдоль каждой характеристической кривой. Кроме того, эта функция непрерывно дифференцируема, и значит, в силу п. 2.3 (г), поверхность г — Ьх2 — ау2 является, интегральной поверхностью 2).
(б) ахр -|- byq — 0. Характеристические уравнения
х' = ах, у' — by
') Интегральной «кривой» характеристической системы является в этом примере еще само начало координат. Как и в предыдущем примере, рассматриваемое здесь уравнение не имеет нетривиального гладкого решения в области ® (х, у), содержащей начало координат. Два последних примера показывают, что решение существенно зависит от вида тон области, в которой мы ищем решения; см. далее пп. 2.6 (г), 2.6 (д), 2.8 (д).— Прим. ред.
2) [Точнее, одним из интегралов. Вид полученной интегральной поверхности зависит от знаков коэффициентов а и Ь. Рис. 7 дает представление
г,
Рис. 7. Рис. 8.
об этой поверхности в случае, когда а и b одного знака (гиперболический параболоид), а рис. 8 — в случае, когда а и Ъ разных знаков (эллиптический-параболоид). При а = \, b=—1 см. п. 2.4(b). — Прим. ред.]
22 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |25
'•) [Если b Ф а; в противном случае задача неразрешима. — Прим. ред.)
доказывают, что для х Ф О, у Ф 0, т. е. для каждого из четырех квадрантов ллоскости XOY, справедливо соотношение
fc?l_a2l = o, или -4-1п(|лг|6|>> Га) = 0. х у dt ' 1
Таким образом, функция ty(x, у) = In ( \x\b | у |~°) вдоль каждой характеристической кривой принимает постоянное значение. Кроме того, эта функция непрерывно дифференцируема, а потому, в силу п. 2.3 (г), она является ннте-тралом. На основании п. 2.2 (б) из этого интеграла можно получить более простой; положив Q (и) = е", находим % (х, у) = \ х \b | у \~а.
(в) Как показывают приведенные примеры, иногда можно удачно, -комбинируя характеристические уравнения, найти интегрируемое выражение, первообразная которого не зависит от параметра t. Этот метод в ряде случаев оказывается полезным, однако он не содержит общего доказательства теоремы существования решения. Кроме того, остается •еще открытым вопрос, как из отдельного интеграла получить всю -совокупность интегралов; по этому вопросу см. п. 2.8.
(г) Если нужно найти интегральную поверхность уравнения (1), проходящую через данную пространственную кривую (задача Коши). то можно воспользоваться замечанием п. 2.2 (б).
Так, если в примере (а) требуется найти интегральную поверхность, проходящую через параболу z = 4л:2, у = х, то ищут непрерывно дифференцируемую функцию Q (и) такую, чтобы равенство
z = Q(bx2 — ау2) ¦<5ыло справедливо при z — Ах2, у —х. Подстановка дает:
Ах2 = Q ( (Ь — а) х2) или1) О, (и) = ь_~-
.Лтак, искомый интеграл представляется в виде
4
z = -(Ьх2 — ау2).
Ъ — a s ' '
Если в примере (б) требуется найти интегральную поверхность, проходящую через ту же параболу, то функцию Q (и) выбирают так, чтобы (при -х > 0, у > 0) равенство
z = Q(xby~a)
•было справедливо при z = 4л:2, у = х. Подстановка этих значений в равенство дает нам 4л:2 = Q (и), где и = хъ~а. Отсюда следует
2
Q (и) = 4и^-", -а потому искомый интеграл при афЬ дается формулой
2Ь 2а
z^=4xb-a у"-".
2.61 § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 23-
2.6. Частный случай: p-\-f(x, y)q — 0. Если во всей рассматриваемой области © коэффициент f фО, то, разделив все члены дифференциального уравнения (1) на / и обозначив g/f через /, мы получим уравнение специального вида
Р+/(*. У)Я = 0- (5>
Первое из характеристических уравнений (3) в этом случае имеет вид лг'(/)=1; в качестве его решения можно взять x — t. Тогда второе характеристическое уравнение (3) можно записать в форме
dy_ dx
= /(*. У)-
(6>
Всюду до конца этого пункта мы будем предполагать, что функция-f(x, у) в области © (х, у) имеет непрерывную частную производную fy.
