Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Оба аргумента функции Q образуют интегральный базис для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения.
66—71. Прочие квазилинейные уравнения
2.66. (\-\-Yz — х—y)p + q = 2.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
й(2у — z, у + 2|Лг — х — у) = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции Й. Решением будет также функция z = x-\-y.
2.67. (x2 + z2— 1)р-\-(ху-{-УТ^?*Уx2+y2+z2—l)q = 0.
Коэффициенты определены и непрерывно дифференцируемы в области
x24-y24-z2> 1, z2<l. (1)
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции
ф1(х, у, z)=z; ф2(х, у. 2) = -^3L?-х2J^^Zi -
образуют интегральный базис.
Если надо найти интегральную поверхность, проходящую через окружность х = 0, у24-,г2=1, то применение метода, изложенного в примере ч. I, п. 5.4, невозможно, так как эта
2.71| 66-71. ПРОЧИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 175
окружность принадлежит границе области (1). Если все-таки действовать по этому методу, то (поскольку поверхность ф2 = О удовлетворяет начальным значениям) для искомого интеграла из уравнения ф2 = 0 получается уравнение
z2=l — у2 при ху < 0. Решением задачи является также 2г2=1—х2 — у2.
2.68. p + (azn + b)q = c.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
/ zn+1 \
Q\z — сх, а п_у_{ -\-bz — cyj = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции 2.
Исследование случая с — Ь см.: S. Flnsterwalder, Zeitschrift fur Oletscherkunde 2 (1908), стр. 81 —103.
2.69. (p-\-kq)(ax-\-by-\-cz)a — 1; см. уравнение 2.34.
2.70. [yf(z)—x]p+yq = 0.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение Q(z, 2xy — y2f(z)) = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции 2.
2.71. fy(x,y, z)p-fx(x,y, z)q = 0t + | > 0.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение Q(z, f(x, у, z)) = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции 2.
Можно предложить иной путь решения. Согласно ч. I, п. 2.7, данное уравнение означает, что функции z(x, у) и f(x, у, z(x, у)} для искомого интеграла z (х, у) должны быть функционально зависимыми, так как
д (х, у) = Z* У у fzZy) 2У (fx fzzx) — fyzx fx2 у
При этом снова получается уже найденное выражение для интегралов.
ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1—19. f(x, у, z)wx-\-g(x, у, z)wy-\-h(x, у, г)чог = 0; функции /, g, h степени ие выше первой
1—6. Одночленные коэффициенты
3.1. awx + bwy -\- счиг = 0.
Ьх — су, сх — az — интегральный базис.
3.2. ачюх + ЬучЮу -+- czwz = 0.
yae~bx, zae~cx—интегральный базис.
3.3. wx-\-bzwy-\-cywz = 0.
Интегральный базис: су2 — bz2 и, кроме того, (су -f- Az) е—**, А = УЬс, если be > 0; су cos Ах-\-Az sin Ах, A — \f—be. если be < 0.
3.4. xwx 4- byWy -f- czivz — 0.
X** Xе
Интегральный базис —, —. Если, в частности, b = c = l, то это уравнение для однородных функций нулевого порядка; интегральный базис в этом случае: ^, .
3.5. xwx ~\- bzWy -\- cywz = 0.
Интегральный базис: су2 — bz2 и, кроме того, су паг¦,
хи
а — \fbc, если be > 0;
ха ехр у— arctg -^-j, а = У— be, если be < 0.
3.6. zwx — xws-\-ywz = 0.
Характеристические уравнения:
x'(t)^z, y'(t) = — x, z'(t) = y.
3.121
1—19. / (лг, у, г) wx+g (лг. у, г) wy+h (х, у, г) да2=0
177
Характеристический определитель — s О 1
— 1 О
-s О 1 — s
= — s3 — 1
имеет различные корни: —1, у ±^-1^3; поэтому это уравнение может быть решено тем же методом, что и уравнение 3.19.
7—11. Двучленные коэффициенты
3.7. ywx-\-xwy— (x-\-y)w* = 0.
Интегральный базис: х -\-y-\-z, х2— у2.
3.8. xwx-\-(y + z){wy— Wz) = 0.
Интегральный базис: у -\- z, х ехр ^--у~4т) *
3.9. xwx-\-(y-\-z)wy-\-(y — z)w2 = 0, частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
x'(t) = x, y'(t) = y-\-z, z'(t) = y — z. Характеристический определитель 1 — s О О
О 1 — s 1 О 1 —1 — s
= (l-s)(s2-2)
имеет три различных корня. Методом, которым решается уравнение 3.19, может быть получен интегральный базис:
[у + (V 2 - 1) г] х-У\ [у - (V2 4- 1) г] х*Х
Интегралом будет, в частности, функция w — у2 — 2yz — z2.
ЗЛО. (у — 2z) чюх-\- (Зг — x)wy-\- (2х— Sy) wz = 0.
Интегральный базис: Ьх -\-2у 4 z, х2-\-у2-\-z2.
3.11. be (у — z) wx 4- са (z — х) чюу + аЬ (х—у) wz — 0.
Интегральный базис: ах -\-by -\- cz, ax2-\-by2-\-cz2.
12—19. Трехчленные коэффициенты
3.12. xwx + (ax-\-by)wy-\-(cx-\-dy-{-fz)Wz — 0', частный случай уравнения 3.19.
12 Э. Камке
= (1 — s)(b — s)(f-s)
178 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.13
Характеристические уравнения: x'(t) = x, у' (f) = ax-\-by, z'(t)==cx + dy-\-fz. Характеристический определитель
