Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
и касающуюся ее в каждой точке плоскость с направляющими коэффициентами р (t), q (t) (см. подстр. примечание '). Таким образом, аналитически полосу можно определить как совокупность плоскостных элементов, удовлетворяющих дополнительному условию (5). Говоря геометрически, под полосой понимают конфигурацию, состоящую из кривой и семейства касающихся ее плоскостей (рис. 21). — Прим. ред.]
§ 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
83
условии | Fp\-\-1F41 > 0. Из требования (а) п. 8.2 получаем соотношение '):
выполнено, то касательная к кривой х (t). у (t), z (t) является образующей соответствующего конуса Монжа. Отсюда путем надлежащего выбора параметра t получаем первые три уравнения (6). Из требования (р*) для некоторой поверхности z = i|)(x, у), для которой F(x, у, 1]), tyx, гру) = const, частным дифференцированием по х к у получаем два последних уравнения (6).
Это приводит нас к определению характеристической полосы, не зависящему от каких-либо известных пространственных кривых или поверхностей. Пусть функция F(x, у, z, р, q) имеет в области <$(х, у, z, р, q) пространства х, у, z, р, q непрерывные частные производные первого порядка. Функции (4) со значениями в области ©, непрерывно дифференцируемые при а < t < р, определяют характеристическую полосу (характеристику) уравнения (1), если они удовлетворяют системе пяти обыкновенных дифференциальных уравнений
при этом функции (4) подставлены в производные от f в качестве аргументов 2). Уравнения (6) называются характеристическими уравнениями (характеристической системой) дифференциального уравнения в частных производных (1).
Поскольку в предположениях об F получается, что правые части системы (6) лишь непрерывны, то система (6) может иметь более одного решения. Если же потребовать, чтобы функция F была дважды непрерывно дифференцируема, то характеристическая полоса будет лишь одна (см. далее п. 8.6).
(б) Если дано дифференциальное уравнение типа (2), например
то система пяти характеристических уравнений (6) сводится к трем уравнениям. Первое характеристическое уравнение х'({)=1 позволяет нам положить: ( = х. Так как в дальнейшем для построения интегральных поверхностей из характеристических полос будут рассматриваться только такие плоскостные элементы (4), которые
') [Доказательство можно найти в книгах Степанов или Курант. — Прим. ред.]
2) [Отметим, что каждая полоса (см. п. 8.3), удовлетворяющая первым трем из уравнений (6) и соотношению F (jc, у, г, р, q), называется фокальной полосой. — Прим. ред.]
Х' (t) = Fp, у' (t) = FQ. z' (0 =p(t) Fp-\-q (t) Fq, p' (t) = -Fx - p (t) Fz, q' (t) = -Fy-q (t) Fz;
p = f(x, y, z, q).
6*
84 ГЛ. П. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.5
удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению (7), то в третьем уравнении (6) можно заменить р на /. Окончательно для определения функций у(х), z(x), q(x) получается три уравнения:
/(*)= — /,. *'(*) = /—qfg, q'(x) = fv + qfz. (8)
Они называются характеристическими уравнениями дифференциального уравнения (7).
Для определения характеристической полосы добавляют еще одно уравнение
p(x) = f(x, у(х), z(x), q(x)). (9)
(в) Для квазилинейного дифференциального уравнения (3) первые три из уравнений (6) имеют вид
*'(') = /. = z'(t)=Pf+qg-
В последнем из этих уравнений pf-\-qg может быть заменено на h, так как для построения интегральной поверхности из характеристик рассматриваются только такие элементы поверхности, которые удовлетворяют уравнению (3).
8.5. Другие выводы характеристической системы. Получение характеристик с помощью требований (а) и (Р) или (р*) п. 8.2 имеет преимущество в наглядности. Однако недостаток такого определения характеристической системы состоит в том, что этот метод с трудом допускает перенесение на общий случай (больше искомых функций, независимых переменных больше двух, дифференциальные уравнения более высокого порядка). ' Поэтому здесь намечены еще три других метода. Третий из них — самый короткий и легче всего переносим на общие случаи.
(а) Ищутся плоскостные элементы (4), которые принадлежат одновременно нескольким интегральным поверхностям, например z — ф(х. у) и z = %(x, у). Эти интегралы предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Кроме того, ни в каком подынтервале интервала а < t < р все три разности
Флглг Xjrjc- Фуу Xjcv Фуу Xyv
после подстановки х (/), у (t) не должны быть тождественно равны нулю.
Тогда из уравнения (1) после подстановки интегралов и дифференцирования по х и по у следуют два уравнения для функции гр:
f, + fjb + fflxy+pq%y = q. I
а также два аналогичных уравнения с х вместо ф. Подставим теперь сюда функции (4); тогда по предположению коэффициенты fx, fv,
8.5) § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 85
(12>
Fx, Fр, Fg, tyx, фу уравнений (10) совпадают с соответствующими коэффициентами, которые появляются в уравнениях для х- Получается, поэтому система
($>хх ~ lxx) Fp + (Фулг — Ху*) Fq = 0,\
