Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Из характеристических уравнений было найдено, что у2 -J- г2 = с\ для каждой характеристической кривой, т. е.
y=v%^?.
Далее, из первого характеристического уравнения можно получить t — х.
Используя это, перепишем третье характеристическое уравнение н форме уравнения с разделяющимися переменными:
г =-ЛУс2._г2.
следовательно,
z x2
Arcsin--|--jt- = ?2
Ci l
вдоль каждой характеристической кривой, т. е. функция
z , х2
•ф* (х, у, z) — Arcsin
УУ + ;
постоянна вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому ф* — интеграл данного дифференциального уравнения. Вместе с гЬ* интегралом является и функция
1 / х2 х2\
•ф = sin ib* = , I у sin--1- z cos — |,
j/y-l-zH 2 ^ 2 j
найденная раньше в (б).
п
3.6. Частный случай: у)я\ — ^ Если некоторый
v=l
коэффициент уравнения (1) во всей рассматриваемой области не обращается в нуль, то после деления всех членов уравнения на этот коэффициент и несущественных преобразований можно привести дифференциальное уравнение (1) к виду
п
P+2/v(*. 30<7v = O; (ГО)
Возвращаясь к переменным х, у, г, получаем интеграл для первоначального дифференциального уравнения
3.61 § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 39
здесь z — z (х, у) — искомая функция, р = , qv = , а у
означает вектор с компонентами уг, .... уп. Соответствующая уравнению (10) характеристическая система выглядит так:
y'v(x) = fv(x, у) (v=l.....л). (11)
В этом пункте от коэффициентов fv(x, у) мы будем требовать,
чтобы они имели непрерывные частные производные по у^, и,—1.....п,
в области ®(х, у).
(а) Основная теорема существования. При названных
предположениях характеристические функции q>v(x, |, Tjj.....rjn)
системы (11) имеют1) в своей области существования непрерывные частные производные первого порядка по всем п -\- 2 аргументам и, согласно Линделёфу, удовлетворяют уравнению
^¦+2Д«. Л1.....чп)^ = о,
v=l
причем
д (Ф1.....Фп) > 0
При фиксированном хй эти характеристические функции
у1.....Уп) = Щ(*o. *• Уп) (12)
(ft = 1.....п)
образуют интегральный базис дифференциального уравнения (10) в каждой области, в которой эти функции существуют2).
Если /— открытый связный кусок плоскости х = х0, целиком лежащий в ©, то область существования G (I) функций (12) (являющаяся подобластью области ©), которая образована проходящими через I интегральными кривыми системы (11), называется характеристическим полем уравнения (10).
(б) Задача Коши. В задаче Коши требуется найти интеграл z = ф(л:, у), принимающий на плоскости3) х — х0 заданное значение &(у), т. е. ф(х0, у) = (о(у).
Если характеристические функции (12) удовлетворяют в области G (/) неравенствам Av < cpv < Bv и если функция (о (у) непрерывно дифференцируема для Av < yv < Bv (v—1.....n), то в области G (/) существует единственное решение задачи Коши, а именно:
ф(лг, у) = (а{((1(х0, х, у).....Ф„(х0, х- 30)- (13)
') [См. Камке, стр. 59. —Прим. ред.]
2) Более общую теорему существования, когда коэффициенты уравнения зависят еще и от параметра, см. в п. 4.3.
3) [Автор называет эту плоскость Normalebene. — Прим. ред.]
40
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[3.6
Легко установить аналитически, что правая часть равенства (13) непрерывно дифференцируема по х и по yv и <pv(x0, х0, y) = yv. а потому правая часть этого равенства х=х0 принимает значение w (у). Геометрически интегральную поверхность можно построить так: проводят через каждую точку начальной поверхности
характеристики
yv = cPv(*' *o> N1.....Лл) v=l.....п.
, \ (14)
2 = <оСП1.....Т|„)
и исключают rjv. Для этого из первых п уравнений (14), определяющих характеристические кривые, находят
4v = 4>v(x0, х, у,, .... уп),
что после подстановки в последнее уравнение (14) как раз и дает соотношение (13).
Пусть © — полоса *)
а<х<Ь, — со<у1, .... уп<4-оо, и пусть все функции Д, или ограничены в ©. Тогда если I
является плоскостью х = х0, а < х0 < Ь, то G (I) совпадает с ©. В этом случае можно задать значение интеграла на произвольной плоскости х = х0, а < х0 < Ь, и он будет однозначно определен во всей полосе ©.
(в) О существовании нетривиального интеграла в произвольной области. Для дифференциального уравнения (10) во всей области © может не существовать нетривиального интеграла. С другой стороны, имеет место следующая теорема существования 2):
Пусть функции ДДх, у) (v = 1, .... п) ограничены в ©(х, у) и, кроме того, имеют там непрерывные частные производные по у^. Пусть а — нижняя, Ь — верхняя грани (случаи а = — сю, Ъ = -4- со допускаются) абсцисс х точек (х, у) ? ©. Тогда в каждой подобласти g области ©, принадлежащей открытой полосе
существует для уравнения (10) интегральный базис i]\,(x, у) (v—1,п). для которого во всей области © функциональный определитель
(*о- Ч\.....'V ? = wCn.i,
• ч„))
а < х < Ъ,
оо<У!.....у„<-4-оо,
д Oh.....¦Фп)
д (У1.....У„)
>0.
