Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
3.3. Теорема 3.3.2 была доказана Герглотцем для случая, когда G =N есть
аддитивная группа целых неотри-
Замечания
243
дательных чисел, и Бохнером для случая, когда G = R1. Общий случай
рассматривался Райковым и Вейлем (см., например, Вейль [1], стр. 137).
Относительно изучения sup 1 Р (у) | см. работу Хьюита
Y
и Рубина [1].
3.3.!. Теорема 3.3.3 н ее доказательство, приведенное в тексте,
принадлежат Руди ну [2].
3.3.2. Можно использовать интеграл Хеллингера для расширения
определения С(Р) и утверждения теоремы.
3.3.3. Если величина d = |/ || g j|2 (i (dg), где (д. -
нормированная мера Хаара, конечна, то существует граница для всех d (Р),
d (Р) < d. Действительно, по теореме Фубини
d2- ^ d2P(dg) = ^ ф (h) [i(dh),
G G G
где
ф(А)= J II g-h II2P(dg),
G
так что
d2>infcp(/z) = d2(P).
h
3.3.4. (Добавлено при корректуре.) Некоторые пробелы в тексте,
связанные с безгранично делимыми распределениями и предельными теоремами
были заполнены недавно. Интересующиеся читатели могут посмотреть работу
Парта-сарати, Ранга Рао и Варадхана [2] для случая локально компактной
коммутативной группы и работу Клосса [3] для случая компактной
коммутативной группы (см. также Карналь [1]).
3.4. Конечные стохастические группы изучались Воробьевым [1] и Дворецким
и Вольфовицем [1], стохастическая группа вращений окружности - Леви [1].
Бёге [1] представил безгранично делимые распределения на ко-
244
Замечания
нечной группе. Он показал, что 1) экспоненциальное представление не
обязательно единственно и что 2) класс безгранично делимых распределений
замкнут относительно операции композиции тогда и только тогда, когда
(конечная) группа коммутативна.
4.1. Весьма полезной справочной книгой по основам теории групп Ли
является книга Кона [1] (см. также последнюю главу книги Понтрягина [1]).
4.1.!. Некоторые авторы изучали процессы диффузионного типа на
дифференцируемых многообразиях (см., например, К. Ито [1] и С. Ито [1]).
4.2. Основная теорема этого раздела принадлежит Ханту [1]. Она обобщает
классическое представление Леви - Хинчина безгранично делимых
распределений на действительной прямой.
Рассуждения в разд. 4.2-4.4 тесно примыкают к выводам Ханта и Вена.
4.2.J. Относительно доказательства см., напрнмер, Хант [1 ], стр.
269.
4.2.2. Для того чтобы показать, что Tt отображает С* в Са, рассмотрим
случай k = 1. Тогда Y'Tf =TY'f, так как Т коммутирует с левыми
переносами. Следовательно, Т отображает Си в С&, и т. д. Также имеет
место неравенство || Tf || 'h < || / || 'к. (См. Вен [2].)
4.2.3. (См. Вен [1], [2].) Далее используется следующий результат,
принадлежащий Вену. Рассмотрим последовательность операторов Мп
описанного в тексте типа и характеризуемых постоянными а\п\ а\^ и мерами
т]", п = 1, 2, ... . Предположим, что
1) lim - а;,
2) lim lim {a\f + ~ ? {gfxj [g) суще-
e J. 0 n->33 v "> т \&) J
ствует и равен ац,
3) lim% = T] всюду на Gc - e и lim т]^(со) - rj(со).
Замечания
245
Тогда
lim || (Мп - М) f j| = О
П-> оо
для любой /?С2. Доказательство проводится следующим образом:
(Мп -~M)f(g)=% (а<"> - Xtf (g) +
г
+ '2J(aW-au)XiXJf(g) + J [f(gA)-fte)-
i, i Gc~e
-Ъх,и1)х,т
i
Разложим интеграл на две части, на одной из которых
О < <р (А) < е, а на другой ф (А) > е.
Норма второго интеграла стремится к нулю в силу условия 3). Первый
интеграл в свою очередь может быть разложен
I [f(gh)-f(g)-^Xif(g)xi(h)-
0 <ф(й)<8 i
-1 2 XiXjf (g) Xi (ft) (A) ] • +
i,j .0<cp(/i)^e
где норма первого интеграла стремится к нулю, так как подинтегральная
функция непрерывна и равна нулю на единичном элементе е. Второй интеграл
уравновешивает в пределе выражение
г, j
(см. условие 2). Наконец, норма членов первого порядка в исходном
выражении
2(ap-ai)Xtf(g)
X
стремится к нулю в силу условия 1).
246
Замечания
4.2.4. В настоящее время очень мало известно относительно нормальных
распределений на группе Ли. Мы даже не знаем, является ли, вообще говоря,
композиция двух нормальных распределений (соответствующих
инфинитезимальным порождающим операторам Мi и М2) снова нормальной. Если
Mi и М2 коммутируют, то это так.
Если Р - нормальное распределение на группе Ли G, a N - замкнутый
нормальный делитель, то распределение вероятностей Р', индуцированное на
факторгруппе G' =G/N (см. конец разд. 3.1), также нормально. Чтобы
убедиться в этом, вкладывают Р в Pt, Pi = Р. Тогда мы можем определить
P't соотношением
S f(g')P't(dg') = \ flh(g)] Pt (dg)
G' G
для любой / 6 L (G'), где h - естественный гомоморфизм G Если / ? L (G') П
G2 (G'), to инфинитезимальный
порождающий оператор M' полугруппы P't задается соотношением
M'f(g') = Mf [/i(g)],
где М - инфинитезимальный порождающий оператор Pt. Вспомним теперь
выражение оператора М в терминах алгебры Ли Л, натянутой на Xlt Х2, ¦ ¦
., Xd. Функция / постоянна на классах смежности по подгруппе N,
и инфинитезимальные преобразования, принадлежащие алгебре Ли п, связанной
с N, будучи применены к этой функции, дают нуль. Другими словами,
