Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
- - - - локально компактных
группах 138 Циклическая группа 95 Ядро (минимальный двусторонний
идеал)236 Z-слабая сходимость 39 Р-группа 126 ^-топология 163
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга известного шведского математика У. Гренандера в настоящее время
является единственной в своем роде. Она посвящена предельным теоремам на
алгебраических структурах, в первую очередь на группах. Под предельными
теоремами здесь понимаются теоремы о поведении распределений сумм
большого числа независимых случайных элементов со значениями в группах и
т. п. С аналитической точки зрения дело сводится к изучению композиций
(свертки) большого числа распределений на группе. Анализ Фурье
(базирующийся на теории характеров или теории представлений) является
основным орудием.
В первой главе автор убедительно доказывает желательность перенесения
результатов классической теории предельных теорем на случай групп и
других алгебраических структур, и поэтому нет необходимости говорить об
этом "здесь.
Уместно напомнить, что классическая теория рассматривает или суммы
~ 1 Ч~ ^71, 2 "Ь • ¦ • "Ь kn
бесконечно малых независимых случайных величин ("схема серий"), или суммы
?n = ?i + \г + ¦ • • + ?ги
образованные по последовательности независимых (чаще всего одинаково
распределенных) случайных величин. "Схема серий" (тесно связанная с
теорией случайных процессов с независимыми приращениями) представляет
собой достаточно трудную проблему для изучения на группах. Даже на
мультипликативной группе не равных нулю ком-
6
Предисловие редактора перевода
плексных чисел можно, как показал В. М. Золотарев, построить весьма
содержательную теорию.
Схема последовательности (ограничимся для простоты одинаково
распределенными величинами) поддается полному изучению в случае
компактных групп, где предельные распределения, по существу,
исчерпываются мерой Хаара на группе и ее подгруппах. Однако в очень
интересном случае локально компактных некоммутативных групп в момент
написания этой книги даже сама задача не была точно поставлена.
Распределение сумм sn "расплывается" на группе, и в то время как на
числовой прямой это "расплывание" может быть компенсировано нормировкой,
т. е. переходом от sn к (sn - ап)/Ьп (ап и Ьп - постоянные, Ьп-+¦ оо), в
общих локально компактных группах это свойство отсутствует. Совсем
недавно в работах, в частности Тутубалина и Ферстенберга, был поставлен и
решен в отдельных случаях вопрос о том, когда предельное поведение
распределения ?п определяется конечным числом "параметров", т. е. когда
существует конечное число функционалов fh, таких, что из Д (Р) = Д (Q)
следует
Рп* (А) - Qn* (/1) -" О
для достаточно широкого класса подмножеств А рассматриваемой группы.
Книга написана не очень ровно, и внимательный читатель сам заметит ее
слабые места. Но она будет весьма полезной математикам различных
специальностей особенно потому, что в ней показано взаимодействие таких
разделов математики как алгебра, теория вероятностей, топология и
функциональный анализ. Читатель увидит, как много интересных нерешенных
проблем остается в увлекательной области, которой посвятил свою книгу
автор.
Ю. Прохоров
Моим родителям
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В этой книге делается попытка представить единую и последовательную
теорию исчисления вероятностей на алгебраических структурах. Среди таких
структур мы рассмотрим некоторые, заслуживающие особого внимания ввиду
роли, которую они играют в приложениях этой теории, а также их
внутреннего интереса. Это топологические полугруппы и группы,
топологические векторные пространства и алгебры.
У автора интерес к этой теме возник в связи с некоторыми практическими
задачами, часть которых описана в главе 1. Поэтому в книге особое
внимание уделяется конкретным результатам. Эти результаты могут быть
фактически использованы, и они приводят, по крайней мере в принципе, к
решениям, которые можно определить точно или приближенно, аналитически
или численно. Мы не пытались добиться результатов наиболее общего
характера или развить эту теорию в наиболее совершенной форме. Поэтому
мы, не колеблясь, налагали условия, подобные сепарабельности, измеримости
по Борелю и т. д., когда они приводили к упрощениям, хотя и не всегда
были необходимыми. Некоторые читатели могут почувствовать склонность к
устранению подобных недочетов, к получению необходимых и достаточных
условий и т. д. Автор надеется, что в будущем это кому-нибудь удастся
сделать.
8
Предисловие автора
Чтобы избежать затемнения главных идей теории длинными выкладками и
рассуждениями технического характера, такие выкладки иногда только лишь
намечаются. Это особенно относится к случаям, когда можно отослать
читателя к литературе, в которой дается полное изложение вопроса.
Для того чтобы сделать изложение как можно более конкретным, в конце
каждой главы дано несколько специальных примеров. Автор полагает, что
некоторые из этих примеров не менее важны, чем теоремы, которые они
