Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/С2 = (— 1)а -^-т-(Я—/0) 2 1п(Я — /0).
Отметим, что формулы для фундаментальных решений уравнения Lku—f(x) сохраняют смысл и в том случае,
Рассмотрим, наконец, особый случай, когда размерность пространства п — четное число и k ^. Разлагая функцию
(Р-\-Ю)к+1с в ряд Тэйлора в окрестности точки X —— ^, имеем
(P-^_jO)x+ft =
= (Я + Ю)~$+* + (X + (Я -f - Ю)-$+к In (Я 4- /0) 4- . . .
Подставляя это разложение в равенство (3) и сравнивая затем коэффициенты при Х-\-~ в левой и в правой частях этого равенства, получаем:
Ьк [(Я 4- /0)"+* In (Я 4- 10)] =
= 4*(_1)Т~ ^ ! !(« — !)! выч. (Р-\-Ю)\
б] § 2. функции, Связанные с квадратичной формой 349
dxrdxs ' г, s=l
В этом случае под Р следует понимать квадратичную форму вида
п
Р= 2 grsxrxs,
г, s-1
га
где 2 Srsff* — ^г(г. /=1, . ., п). В выражении для коэф-
га , и• ,
фициента при (Р-4-Ю) 3 и (Р — /0) 3 при этом добавится в качестве множителя где Д — дискриминант квадратичной формы Р.
Например, фундаментальными решениями уравнения
2-—т- + -т^т I В = /(*1« *2. *з)
d^Tj д.*г3 дх% J
являются функции
1
*1 = 4^7(2*г*3-г-*5-Н0) 3 и
/С2 == К\'
6. Преобразования Фурье функций (P-f-/0)x и (Р—/0)4 Для отыскания преобразований Фурье функций (P-f-/0)x и (Р—/0)х применим идею аналитического продолжения по коэффициентам квадратичной формы, развитую нами в п. 3.
Пусть
= ахх\ -f- . . . -f-OnXn (1)
—квадратичная форма с комплексными коэффициентами, причем Im 3* есть положительно определенная форма, т. е. Im as>0 (s = 1.....п). Обобщенная ' функция <^х, а потому и ее
преобразование Фурье <^°х, являются аналитическими функциями от alt . . ., ап в области Im as > 0 (5=1,..., я).
когда L—произвольный линейный однородный дифференциальный оператор 2-го порядка
350 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Yьх... Уйяг(-х) 4*i *n
-X- — A 2
ИЛИ
таг ¦»
* ' * 22Х+Ил » Г Л + « \ . 3 S^\-X-X
^x_^- V 2/ /?> _ M
В силу единственности аналитического продолжения, формула (2) остается справедливой для произвольной квадратичной формы вида (1) с положительно определенной
мнимой частью; при этом значения квадратных корней
1 1 .
j— — — г arg з
выражаются формулой у z — | z |2 е 2 . Заметим, что
квадратичная форма--j- . . . -|--имеет отрицательно
определенную мнимую часть. Пусть теперь
Р = Х\ + ¦ • • +Х%~ Х1+1 ¦ ¦ ¦ Xl+q'
Q = s2 + ... +4— sl+1 — '. .. -sl+q.
i—<
Для отыскания достаточно поэтому рассмотреть случай, когда все коэффициенты ocs — мнимые числа: a.s~ib8, причем Ьа > 0 (s=l, .... га). Но в этом случае
После соответствующей замены переменных получаем:
Хг"
где г2 = х2+ . .. +лг2.
Преобразование Фурье обобщенной функции гх было вычислено в п. 3 § 3 гл. П. Используя полученную там формулу, имеем:
б] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 351
F [(Р + ЭД =-Г(_Х) V-±1 (Q — /0) 2 (3)
и аналогично
—/0)4 =-Г(_Х)Ч-^(Q-f-/0) Х (30
Применяя формулы (14) п. 3, получаем также после элементарных преобразований коэффициентов:
га
Рк+ = 2Л+П1с~ хг (X -4- 1) Г (х + |) X
X ^ (х + ^\^0)-Х-Т_,-(^т)* (Q+/0)-x-l] , (4)
Pi = —2*+я«~1Г(Х-т- l)r(x-f-^-) X
i Г _™Li —х— — — — х——1
x57u 2 (Q — /0) a_ea(Q^_/0) aJ. (4')
Отметим, что формулы преобразований Фурье, полученные здесь, остаются справедливыми и для случая, когда Р—произвольная вещественная невырожденная квадратичная форма
п
Р = 2 ёа$Ха.Х$-а. 3 = 1
В этом случае под Q следует понимать сопряженную квадратичную форму
71
q = 2 *вр*«*э.
а,р-1
га
где 2 ?«з?"Р7 = 8« (а- Т = 1.....'0- Кроме того, во все
0=1
формулы следует добавить справа в качестве дополнитель-* 1
ного сомножителя г_., где Д — дискриминант квадрате |Д|
тичной формы Р.
Выполняя в формуле (2) предельный переход, мы получим при а, = ... — ар=1, оср+1= ... =0Cp+g=—1
352 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
7. Обобщенные функции, связанные с функциями Бесселя. Рассмотрим класс обобщенных функций вида ^/(с^3, X), где f(z, X)— целая функция от z и X, а — комплексная квадратичная форма с положительно определенной мнимой частью. Эти обобщенные функции при ReX>0 определяются равенством
(<^х/ (<^, X), *(*))=/<?РХ/(<^, X) ср (х) dx. (1)
Очевидно, что Spxf(^', X) при ReX>—1 является аналитической функцией от X. С помощью аналитического продолжения мы определяем обобщенную функцию ?Pxf (0*, X) и для других значений X. Аналогично определяются функции <^Чпта<^/(<^, X).
Нетрудно показать (исходя, например, из разложения функции f(z, X) в степенной ряд по z), что для любой вещественной квадратичной формы Р существует предел
(P+iO)V(P + iO, Х)= lim (P-t-^jVC^ + iPi. X), (2)
р, -> о
где Pt—положительно определенная квадратичная форма.
Совершенно аналогично определяется для любой вещественной квадратичной формы Р обобщенная функция
