Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Установим связь этой функции с определенной в п. 1 функцией в?*}(Я).
Заметим, что если положить tu — v, то
316 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
f
и 3 Ф (к, u)du имеет в этой точке простой полюс
о
с вычетом
Полученный результат не является неожиданным. В самом деле, еще в гл. I мы установили, что
x (—l)fc_1 *(fc-l) . .
вычк х+ = о' >(*).
Из формулы (19) вытекает, что в случае нечетномер-ного пространства, а также в случае четномерного
пространства при k < ~ функция Ь{к~^(Р) полностью
определяется заданием квадратичной формы Р.
В п. 1 было отмечено, что функция о[к) (Р) может быть Определена формулой
(»<*>(/>), <p)=(-l)fe f <ofe(?), Р=о
. . п — 2
причем написанный интеграл сходится при k<^—^—¦ а ПРИ «.^ " — 2
«>•—2— его следует понимать в смысле регуляризованного значения. Следовательно,
Р = 0
В частности, имеем:
• выч. (/*, *) = [ ,
x=-iv + ' J lgradP|
где afa — элемент поверхности конуса Р = 0.
Случай 2. Особая точка к принадлежит второй
серии особых точек, но не принадлежит первой серии.
Это имеет место, когда Х=--~ — k (fe = 0, 1, 2, . . .),
причем размерность пространства п — нечетное число.
В этом случае функция Ф (К, и) регулярна в окрестности точки Х =--^- — k, а потому функция (Р\, <р) =
со
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 317
откуда
1 **(-i-k.')
выч. (Р+, ср) =
k\ дик
X—j-k
и—О
(20)
Таким образом, выч. (Р+, <р) есть функционал, сосредо-
точенный в начале координат.
Выразим значение этого функционала непосредственно через производные функции ср (л:) в начале координат.
При Х =—у формула (20) дает
выч.
,.(Pi.T) = e(-4.o).
" 2
Используя выражение (11) для функции Ф (X, и), получаем:
1ч. (р\, <p) = iy"(i — o"^4^^*i(0, 0).
ВЫ'
/ (1-0 Н * rt = V2/ Р ч ¦
Если /? — четное число, то —^--f-l^ = °°> а потому выч. (Р\, <р) = 0. (21)
Пусть теперь р нечетно, а g четно. Согласно определениям (8) и (6) имеем:
«1^(0, 0) = Ф(0, 0) = J*cp(0)rf2№)d2(a)s
откуда
Ч»! СО. 0)=2Л ср(О),
где 2р и &й обозначают площади поверхностей единичных сфер в пространствах соответствующих размерностей.
318 ГЛ. ill. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
т. е.
выч. Рх+= WJ V 2/ QpQa S (x). (22)
4r{l-i)
Как известно, площадь поверхности Qs сферы единичного радиуса в s-мерном пространстве выражается формулой
(I)'
Подставляя в (22) выражения для Qp и Qq, мы получим после элементарных преобразований
q п_
выч. Рх+ = {~l)lf Ь (х). (23)
Чтобы найти вычеты функции при Х = — —/г, где
/г=1, 2, .... рассмотрим однородный дифференциальный оператор
\дХ1дхп)'
т. е.
их1 илр илр+1 P+Q
Как показывает непосредственный подсчет,
LPx+l = 2(\-\-l)(2\-{-n)Px, (25).
где п — р -\- q.
Следовательно,
2] § 2. функций, Связанные с квадратичной формой 319
X
2»(X + l)...(A + A)(x + -j)...(x + -J + *-l)
X выч. (Px+fe, Z.fecp). (29)
Но
Х-~j-*
выч. (Рх+к, L*cp) = выч. (Р\ L\).
х--*-* х-1
*) В самом деле, если ReX>0, то по формуле Грина этот интеграл сводится к интегралу по поверхности Р = 0. Но так как на этой поверхности функция px+l и ее частные производные обращаются в нуль, то интеграл равен нулю. В силу единственности аналитического продолжения формула (26) остается справедливой и при Re X < 0.
С другой стороны, для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции ср(х) справедлива формула
J* [ср (LPX+1) — Px+1 (Хер)] dx = Q *). (26)
р> о
Подставляя в формулу (26) выражение (25) для LPX+1, получаем:
Г pV*=-L—— Г px+1(L<P)dx,
Р^о 2*(*+!)(* +у) р>о
Т Со
(PV.«p) =--^-А»)- (27)
Применив формулу (27) я раз, будем иметь:
=-Т~—,-п-г №. L\):
2™ (Х+1)... (k+k){\ +21j...(A + .J-r-A-l J.
(28)
Следовательно» выч. (Р+, ср) =
320 гл. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ. ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Поэтому, если р — четное число, то этот вычет согласно (21) равен нулю. Если же р — нечетное число, то, согласно (23), имеем:
q_ п_ 2 2
Г(?)
Подставляя это выражение в формулу (29) и учитывая, что (3(х), L\) = {Lkb (х), <р),
мы получим после элементарного преобразования коэффициента
q п 2 _Т
выч. (р>+, ср)^ t-1) * .(/.*»(*).?)
х—5.-* 2»А.
2
.r(f + *)
Итак, если размерность пространства — нечетное число, то в случае, когда р — нечетное, a q — четное число,
обобщенная функция Р\ имеет в точках X — — ~— k
(k — 0, 1, . . .) простые полюсы с вычетами
q п
,~2 _ 2
выч. Р\= * , X
X
ST+-+4-4;---4) sw' (30)
fc^a же, наоборот, р — четное, a q — нечетное число, то функция Рх+ в этих точках регулярна.
Случай 3. Точка \ принадлежит одновременно двум сериям особых точек. Это имеет место в случае четномер-ного пространства для всех
2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 321
