Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Из сказанного, в частности, следует, что каждый элемент ф(а) пространства Z есть элемент пространства 5. (Это можно получить и непосредственно: из определения пространства Z следует, что всякая функция t(a)?Z бесконечно дифференцируема и стремится при |а|—»оо к нулю
быстрее любой степени -г~Г * далее» применяя для вычисления производных интегральную формулу Коши, мы можем получить то же свойство для любой производной от ф(а).) Кроме того, из сказанного вытекает, что если последовательность ф,(<з) функций из Z сходится в смысле сходимости в Z, то она сходится и в смысле сходимости в 5. Далее, поскольку пространство К вложено в пространство 5 плотно, его образ — пространство Z — также располагается плотно в 5, так что любую функцию ф (о) ? 5 можно получить как предел (по сходимости в S) последовательности функций ф„ (а) ? Z.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ. СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Определение. Поскольку между пространствами К и Z существует взаимно однозначное соответствие с сохранением линейных операций и сходимости, аналогичное соответствие можно установить и между линейными непрерывными функционалами на этих пространствах. Мы установим это соответствие так, чтобы на функционалах, отвечающих абсолютно интегрируемым функциям, оно переходило бы в соответствие между функцией и ее классическим преобразованием Фурье.
Вначале опять рассмотрим случай одного независимого переменного.
14 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
210
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[1
Пусть f(x)— абсолютно интегрируемая функция и g(a) — ее преобразование Фурье. Тогда для любой основной функции ср(х) и ее преобразования Фурье ф(а) имеет место соотношение
со со ('со 1
—со -co 1—оо J
со ^ со | оо
= 4 f f^)eixadx\da=^ f gWy&da^te.y).
— со V—CO J —CO
которое называют обычно равенством Парсеваля; оно остается справедливым и тогда, когда f(x) и ср(х), а следовательно, и их преобразования Фурье g(a) и ф(<з), лишь интегрируемы в квадрате на оси. Равенство Парсеваля показывает, что g(a) как обобщенная функция действует на основную функцию по формуле
(g, ф) = 2«(/, ср). (1)
В этой форме оно может служить определением обобщенной функции g на пространстве Z при любой заданной обобщенной функции / на пространстве К. Будем называть функционал g, определенный равенством (1), преобразованием Фурье функционала f и обозначать символами F [/] или /.
Подчеркнем, что функционал F [/] действует уже не в пространстве К, а в двойственном пространстве Z.
Для преобразования Фурье обобщенных функций сохраняются формулы дифференцирования обычных преобразований Фурье:
P(-?)F[f\ = F[P(tx)f\. (2)
так что, в частности, умножению на ix в пространстве К' соответствует дифференцирование в пространстве Z' и дифференцированию в пространстве К' отвечает умножение на — is в пространстве Z.
2] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 211
F-X\F[f\] = /, F [f~x \g]] = g, 1
(4)
Отметим еще, что формула FF [ср (х)] = 2тс ср (— х) (§ 1, п. 1, формула (6)) легко переносится на обобщенные функции. Действительно, для функций ср, принадлежащих пространству S:
(FF [/], FF [ср (х)] ) = 2k(F (Л. F [ср (х)]) = (2*)* (/, ср (х)).
Но слева вместо FF [ср (х)] можно подставить 2тсср (— х). Сокращая на 2тс и заменяя х на —х, мы получаем:
(FF[f], <?(*)) = (2*/, ?(—*)).
т е.
FF[f(x)] = 2*f(— *). (5)
что и требуется.
2. Примеры. 1. Найдем F[8]. Согласно определению
со
(3, = 2тг (о, ср) = 2тгср (0) = f ф (a) rfa = (1. ф),
— со
откуда
F[o] = 8=1, F_1[l] = o. (1)
14*
Для доказательства достаточно рассмотреть случай P{zZx) = ~d~x ' ^ы имеем в этом случае (F{ixf], F [ср] ) = 2тг (1хf, ср) = 2тс(/, —/хср) = = (F [f], F [-/хер]) = (F [/], —A F [ср]) = (A F [/1, F [ср]),
что дает формулу (2); аналогично устанавливается (3).
Обратный оператор F-1 определен на пространстве Z' и переводит функционал g в функционал / по той же формуле (1) (читаемой справа налево), так что
212. ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [2
со
ЬпХп
2. Аналогично найдем F [I]:
со оо
(1, 0 = 2тс(1, ср) = 2тс j cp(x)rfx = 2it j ср (х) e~ix-° dx =
— СО —ОО
= 2«!>(0) = 2те(8. ф),
откуда
F [1] = Т = 2тс8, F'1^] — —. (2)
3. Преобразование Фурье от многочлена. Используя формулы (2) — (3) п. 1, находим:
F[P(x)] = F[P(x). 1] =
=з/,(~'-й-)т = 2те/,(-'ж)8^- ^
77 [Р (чх) 8 = Р (~ iS)~b = Р (~is) ' 1 = Р (~ <4)
В частности,
F [8(2ш> (х)1 = (— 1 )ms2m, j
г i } (5)
F [5(2'и+1) (х)] = (— 1)»+»и2»+1. j
4. Дифференциальное уравнение (л—1)-го порядка
Пу(П-1) (д;) = Ху (д;) (б)
после преобразования Фурье переходит в уравнение 1-го порядка
л (—го) я(о) = — г—(a=j,). (7)
Так как уравнение (л—1)-го порядка (6) имеет п—1 линейно независимых (обычных) решений, то и уравнение 1-го порядка (7) имеет п—1 линейно независимых решений в пространстве обобщенных функций над Z. Мы уже рассмотрели эти решения в п. 5 § 1.
