Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
sL-1Ic- "J"-0- >
— 00 —OO
Другое доказательство теоремы Пуанкаре можно найти в работе if45].
В автономном случае условие расщепления асимптотических поверхностей, расположенных на некотором фиксированном уровне энергии, можно представить в следующем виде:
OO
f {F0f HJdtJ=O, (14)
—OO
где F0 — интеграл невозмущенной системы. Если в точках не-238устойчивых периодических траекторий dF0=0, то интеграл (14) заведомо сходится.
2.2. Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом H(z, t, е) =#о(г)+е#і(г, 0+О(«2) в предположениях п. 2.1. В частности, невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия z±, соединенных двоякоасимптотическим решением t^Zo(t), t*R.
Теорема 8 (С.'В. Болотин). Пусть выполнены следующие условия:
OO
1) J' (H0, {Но, HM(Zoit), І)йіф0,
— OO
2) при малых е возмущенная система имеет двоякоасимп-тотическое решение t~z,(t), близкое К t~Z0(t).
Тогда при малых фиксированных значениях е^=и в любой окрестности замыкания траектории z,(t) уравнения Гамильтона Z=IdH не имеют полного набора независимых интегралов в инволюции.
Замечание. Условие 1) можно заменить на следующее: при некотором
OO
J (H0,.. .{Но, H,)...)(z0(t), t)dt±0.
' т
Если выполнено условие 1), то асимптотические поверхности заведомо не совпадают. Условие 2) выполнено, конечно, ие всегда. Приведем достаточное условие существования семейства двоякоасимптотических траекторий.
Пусть H0=Fi.....Fn — коммутирующие интегралы невозмущенной задачи, независимые на Ao+=Ao". Если
det
j{F„ Hi)(z0(t), t)dt=О,
— OO
00
1 (F1, {Fj, Hi))(z0(t), t)dt
то существует аналитическое по e семейство асимптотических решений t~z%(t). Это утверждение просто выводится из теоремы о неявной функции.
Если мы исследуем задачу о существовании независимых ин-аолютивных интегралов /^(z,/, е), l^i^n, аналитических (или формально аналитических) по параметру е, то условие 2) можно отбросить. В частности, если выполнено условие 1), то
239ряды теории возмущении расходятся в окрестности расщепленных асимптотических поверхностей.
Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности неустойчивых периодических решений z±+0(e) можно найти 2л-периодическую по t формальную каноническую замену переменных z~u, приводящую функцию Гамильтона H(z,t,e) к функции Я±(и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п = 1) формальные ряды замены переменных г-*и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (см. [175]).
Теорема 9. Предположим, что преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит от е. Если выполнено условие 1) теоремы 8, то при малых гфО уравнения Гамильтона не имеют полного набора независимых аналитических интегралов в инволюции.
В частности, при п = 1 достаточным условием неинтегрируемости является условие 1) (С. Л. Зиглин [71]).
Доказательство теоремы 9. Определим на поверхности Aoi функцию Ri по формуле
+ со
о
о
R-(Z)= \ {Н0, {Но, H,}} (z (t), t)dt,
— то
где t*+z (t)—асимптотическое движение невозмущенной системы с начальным условием z (0) = z.
Лемма 2. Функции R- определяются функцией H0, семейством поверхностей Af и симплектической структурой.
< Действительно, согласно результатам п. 2.1, функции
+ со
S>(z)=-z jj (Hx(z(t), t)-Hx(z„t))dt,
о
о
S-(Z)=B \ (Hx(z(t), t)-Hx(z_, t))dt
г
—OO
являются производящими функциями лагранжевых поверхностей Af с точностью до 0(е2). Но е/?* = {//<>. {#<>, 5±Н- >
Композиция преобразования Биркгофа со степенями отображения за период позволяет продолжить функции Hi с окрестностей критических точек и± (е) на некоторые окрестности W± асимптотических поверхностей Af. Так как возможное расщеп-
V {Но, {Но, Hi}}(z (t), t)dt,
240ление поверхностей Ae+ и At имеет порядок Б, то при малых е окрестности W+ и W. пересекаются. Лемма 4. {Я+, Я"}#0 прие^О. <3 Положим
Hi (и, &) = Hq (и)+еЯ* (и) + О (в?). Так как H0 (и) = Н0(и), то
{Н\ Н-}=е {//0, Я,--Я1+}+0(е2). Поскольку A0"—инвариантное асимптотическое многообразие гамильтоновой системы U = IdH0, то, согласно лемме 3, о
{Но, H1-} (и) = J {Н0, {Н0, H1-)) («о (<)) dt = Rr (и), иЄЛЛ
-Op
Аналогично
+ OO
{Я0, ЯГ} (и) = J {Я0, {Я0, Яі+}} (и0 (і)) dt = (и), ИЄА0+.
о
Следовательно,
OO
{Н\ H-)=E J {Я0, {Я0, Я,}}(20(0. +
-OO
Согласно условию 1), при малых є =^=O скобка Пуассона {Я+, Я-}#0. >
В новых переменных и интегралы F1,...,Fn не зависят от t. Пусть при гфО в некоторой точке Wjt П W_ интегралы F1,... ...,Fn независимы. Поскольку (Hi, Ft\ = Q, то вектор IdHi есть линейная комбинация векторов IdFi. Так как (FhFj)=O, то, очевидно, в этой точке {Я+, Я~}=0. Для завершения доказательства осталось заметить, что на всюду плотном множестве аналитическая функция {ЯЯ"} отлична от нуля. t> Теорема 10. Пусть л=1. Если