Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Группа последовательно расположенных на единичной окружности мультипликаторов невозмущенной (A, = const) системы образует кластер, если при изменении к по закону Я = Я(е/) эти мультипликаторы сталкиваются друг с другом, но не сталкиваются с другими мультипликаторами (рис. 55).
Теорема 25 ([1641). Рассматриваемая линейная гамильтонова система имеет по меньшей мере столько независимых адиабатических инвариантов, изменяющихся на величину по-
'> Для открытой области значений А. Я.
В силу вещественности системы расположение мультипликаторов симметрично относительно вещественной оси.
220 ч о ~ Рис. 55
рядка е на временах 1/е, сколько кластеров образуют мультипликаторы невозмущенной системы на верхней единичной полуокружности. Эти адиабатические инварианты являются квадратичными формами фазовых переменных с коэффициентами, зависящими от времени (периодически) и от параметра Я.
Следстзия. 1. Если при всех Я мультипликаторы различны, то число независимых адиабатических инвариантов равно числу степеней свободы.
2. Рассматриваемая линейная система имеет по меньшей мере один адиабатический инвариант.
Если в рассматриваемой системе мультипликаторы совпадают друг с другом только в изолированные моменты медленного времени st, то число независимых адиабатических инвариантов равно числу степеней свободы. Вдали от моментов столкновения мультипликаторов адиабатические инварианты испытывают колебания порядка е. В окрестности момента столкновения адиабатические инварианты, соответствующие сталкивающимся мультипликаторам, могут изменяться на величину ^>е (при столкновении мультипликаторов с ненулевой скоростью — на величину порядка Уе).
4.3. Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического инварианта. Для одночастотных гамнльтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В переменных /, <р, У, X, введенных в п. 4. 1, гамильтониан задачи имеет вид
Я = Я0(/, У, eX)+eHi(I, <р, У, гХ, е). (38)
Теорема 26. Из гладкого, класса Cce, одночастотного гамильтониана (38) формальной симплектической заменой переменных /, <р, У, X++J, if, т), I можно исключить быструю фазу
< Новый гамильтониан 3?=3?(J, rj, е?, е) и производящая функция замены переменных /<p + eS(/, <р, ті, гХ, е) связаны соотношением
Н (/ + eT^ ф' Ч+^ЯР «*•«)-* ч. + в). (39)
Ищем 36, S в виде формальных рядов по е
= + + S=S1-HS2+.... (40)
Подставляя эти ряды в (39) и приравнивая члены одинакового
221 порядка по є, получим систему уравнений
+ ф' * 0) = ад tI-
ЧГ + ф> * еХ>>= вХ)' 1 > 2-
Функция Gi определяется членами S1, X1, ...,Si-I, X1^ в разложениях (40). Решение выписанной системы в обозначениях < • ) {•}<р для оператора усреднения и интегрирующего оператора, введенных в п. 1.2, дается формулами
X1=(H1)", Sl=-(Hl)v^Sl о,
Xi=(Gl)", Si = -(Gj)* + SiO, і > 2.
Здесь Sj0-произвольные функции от J, г|, еХ. Часто выбирают SiOsO. >
Следствия. 1. «Функция» J — формальный интеграл задачи.
2. Оборвем ряд для замены переменных на членах порядка ет. Такая укороченная замена оставляет зависимость гамильтониана от фазы лишь в членах порядка em+1. Эта замена вводит функцию J, которая за время 1/е испытывает лишь колебания порядка em+1.
Ряды (40) даже в аналитической системе могут расходиться (пример см. в [1081). Следующее утверждение описывает предельно достижимую точность исключения фазы.
Предложение 3 ([108], ср. теорема 2). Гамильтониан одночастотной аналитической системы с плавно изменяющимися параметрами (38) с помощью симплектической, на О(е) отличающейся от тождественной замены переменных, может быть преобразован к сумме двух членов, первый из которых не зависит от фазы, а второй экспоненциально мал
(0(ехр(—сг'/е)), ci = const>0).
Следствие. В одночастотной аналитической системе пере-
-1
менная «действие» / в течение времени Т=ехр(*/2С1е) испытывает лишь колебания порядка е. Таким образом адиабатическая инвариантность сохраняется на экспоненциально большом интервале времени1».
<! Замена переменных предложения 3 переводит / в величину /=/ + 0(е), которая изменяется экспоненциально медленно и,следовательно, за время Г изменится экспоненциально мало.[>
4.4. Точность сохранения адиабатического инварианта. Пусть в системе с одной степенью свободы, зависящей от пара-
11 Здесь предполагается, что за это время система не выходит из заданной области размера порядка 1.
222 метра Я, этот параметр плавно изменяется так, что при е/-»-±оо он достаточно быстро стремится к определенным пределам. Тогда существуют предельные значения адиабатического инварианта /( + оо), /(—оо) и можно рассмотреть приращение адиабатического инварианта за бесконечно большое время
А/=/( + оо)—/(—оо).
Хотя при конечных t величина I испытывает колебания порядка е, приращение AI оказывается много меньше, чем е.
Если параметр меняется гладко (А,СС~), то А/=0(е°°), т. е. убывает при е-»-0 быстрее любой степени е [163]. Действительно, процедура п. 4.3 позволяет для любого т ввести величину J, которая испытывает вдоль движения лишь колебания 0(ет), а при f->± оо совпадает с I.
