Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.4. Усреднение в одночастотных системах. Будем рассматривать систему уравнений возмущенного движения (2), в которой есть только одна фаза. Будем предполагать, что частота изменения этой фазы ы(1) не обращается в 0: ш(/) >с~'>0, C = Const. В таком случае систему называют еще системой с быстро вращающейся фазой. Такие системы — один из основных объектов теории возмущений. Вот некоторые примеры:
— колебательная система с одной степенью свободы, на которую наложено малое неконсервативное возмущение (например, маятник с малым возмущающим моментом);
— колебательная система с одной степенью свободы, параметры которой плавно меняются (например, маятник с медленно изменяющейся длиной [63]);
— система, на которую действует малое быстроосциллирую-щее периодическое по времени возмущение;
— движение в задаче двух тел при наличии малого возмущения (малой тяги [67], сопротивления среды);
') В общем решении U10, fi° зависят от /, у и изменяются Ft, Gu
160 — вращение твёрдого тела около центра масс при наличии малого возмущающего момента, который не зависит от расположения тела в пространстве (тяга установленных на теле реактивных двигателей, сопротивление среды [43], [105]); здесь невозмущеиное движение происходит по Эйлеру—Пуансо и имеет две быстрые фазы, но одна из них, характеризующая прецессию тела около вектора кинетического момента, не входит в уравнения;
— движение заряженной частицы в магнитном поле, мало изменяющемся на длине ларморовского радиуса [52], [180]; в невозмущенной системе магнитное поле постоянно и движение происходит по ларморовской окружности, дрейфующей вдоль силовых линий поля, а роль быстрой фазы играет угловая координата точки на этой окружности.
Много примеров анализа движения одночастотных систем с помощью усреднения содержится в [63].
В одночастотном случае обоснование принципа усреднения проведено практически полностью. Ниже приводятся результаты о точности усреднения на временах порядка 1/е, свойствах высших приближений процедуры исключения быстрой переменной и о связи интегральных многообразий (стационарных точек, циклов, инвариантных торов) точной и усредненной систем.
Замечание. Ниже всюду в формулировках теорем опускаются естественные условия продолжимости решений: предполагается, что решение усредненной системы J(t) при 0^^ ^ 1/е не подходит слишком близко к границе области определения системы. А
Пусть в уравнениях возмущенного движения (2) частота о> и возмущения f, g — гладкие функции в своей области определения BXS1X [0, Бо], ограниченные вместе со своими производными первого порядка постоянной С.
Теорема 1. Различие между медленным движением /(/) в точной системе и J(t) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е:
|/(0— /(/)|<с,Е, если /(0)=/(0), 0</<J/e.
Здесь С\ — постоянная, зависящая от постоянных с и С.
<] Замена переменных первого приближения из п. 1.2 отличается от тождественной на величину порядка е. Она приводит точную систему к усредненной с добавлением малого (порядка є2) возмущения. За время 1/е это возмущение может изменить значение медленной переменной, по сравнению с ее значением в усредненной системе, лишь на величину порядка е. Возвращаясь к исходным переменным, получаем результат теоремы. t>
Эта теорема была доказана Фату (P. Fatou) и, другим способом, Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси [96]. Приве-
17-1
161 денное доказательство, основанное на исключении быстрой фазы с помощью замены, принадлежит Н. Н. Боголюбову0.
Если возмущенная система аналитичиа, то процедура пункта 1.2 позволяет исключить из ее правых частей фазу в любом конечном порядке по е. Однако получаемые ряды, вообще говоря, расходятся, так что полностью исключить фазу и разделить быстрое и медленное движение не удается. Оказывается, исключение фазы можно провести с экспоненциально малой ошибкой. Эта ошибка в общем случае принципиально не устранима ни в каком варианте теории возмущений. Сформулируем точнее утверждение об исключении фазы. Пусть правые части возмущенной системы аналитически продолжаются в комплексную б-окрестность области определения системы, оставаясь ограниченными по модулю постоянной С. Пусть в этой окрестности |(i)|'>c-1>0.
Теорема 2 ([108]). Аналитической заменой переменных
/ = /-fea(/, гр, е), ф = гр + ео(/, ij), е), | и | +1 г» | < C1 уравнения возмущенного движения приводятся к виду /=е(Ф(/, е) + о(/, гр, е)), гр = Q (/, е) -I-e? (/, ij), е), l°l + l?l<C2exp( —С-'/е), |ф- </>| + |Q-.<D|<c4e.
Здесь с,>0 — положительные постоянные, зависящие от с, С, б, ео2>.
Экспоненциальный добавок неустраним, так как проекция всякой кривой, первоначально близкой к окружности/ = const, на пространство медленных переменных растет, вообще говоря, не медленнее, чем ЄІГ$ЄХр (—Сб~'/е) при переносе кривой фазовым потоком.
Исследование усредненной системы часто позволяет установить существование предельных циклов и инвариантных торов исходной системы и приближенно их вычислить.
Теорема 3 ([9]). Пусть усредненная система имеет невырожденное3' положение равновесия. Тогда точная система имеет предельный цикл вдоль которого медленные переменные изменяются в окрестности указанного равновесия размера порядка е. Если все собственные значения усредненной системы, линеаризованной около этого равновесия, имеют отрицательные вещественные части, то цикл асимптотически устойчив. Если вещест-
