Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2 ЗАДАЧА п ТЕЛ
§ 1. Задача двух тел
1.1. Орбиты. Пусть две точки (г,, Wi1) и (r2, т2) взаимодействуют между собой с потенциальной энергией U(\rx—г2|) так, что уравнения движения имеют вид
dU •• ди
Предложение 1. Изменение относительного радиус-вектора г=гі—г2 в задаче двух тел такое же, как при движении точки массы m = mim2/(mi-fт2) в центральном силовом поле с потенциалом U (| г |).
Если
» WlT1і _
лі, + /лг
барицентр точек ТЛ\ И Wt2, то, очевидно,
Г1==|+ mI г> r =?--4h—г.
1 ъ 1 /я, + та 2 J nti + nti
Из этих формул вытекает, что в барицентрической системе отсчета траектории материальных точек являются плоскими подобными кривыми (с коэффициентом подобия mt/m2). Итак, задача сводится к исследованию одного уравнения
mr--Mt гЕф.
Пусть x, у—декартовы координаты в плоскости орбиты. Тогда Кг = т(ху— t/jc)=const. В полярных координатах Jt=
61= r cos Ф, t/ = r sin Ф) очевидно, А*, = тг2Ф. Следовательно» r^ = c = const. Если с=0, то Ф = Const (точка движется по прямой). Будем считать, что сф 0. В этом случае ф —монотонная функция t и, следовательно, существует обратная функция t = t (ф). При движении точки т ее радиус-вектор заметает некоторый криволинейный сектор с площадью
ф<0 f» S (t)=4" \r*d<f = \-y4dt~
?(0) U
Таким образом, S = с/2 = const («секторная» скорость постоянна). Этот факт называют обычно интегралом площадей или вторым законом Кеплера (J. Kepler), а постоянную с — постоянной площадей.
Предложение 2 (Ньютон). При фиксированном значении постоянной площадей с
Ut-U+ ?{г> 0). (1)
Это уравнение описывает движение точки массы т по прямой /?={г} под действием потенциальной силы с потенциалом Uc. С помощью интеграла энергии
оно интегрируется в квадратурах. Функция Uc называется приведенным потенциалом.
С помощью интегралов энергии и площадей можно найти уравнение орбит, не решая уравнения (1). Действительно, так как г = К2(й — Uc)im и г2Ф = с, то
dJL = dL — = rL і/" ї(ь~ис) d j dt dy с V m
Интегрируя это уравнение, получим
Ф =
J._Cdr_
, У Si=SE •
При вычислении орбит иногда полезно иметь в виду
Предложение 3. (Клеро (А. С. Clairaut)). Пусть р=1/г и р=р (Ч)—уравнение орбиты. Тогда
„ d p _ _1_ d_ г, /_1_\
т ~~ Cs ap uC V P Г
При фиксированных значениях А и с орбита заключена в области
62являющейся объединением нескольких колец. Пусть h — некритическое значение приведенного потенциала Ue и область Bc,h совпадаете кольцом 0<гі^г^г2<оо.
Покажем, что в этом случае r(t) —периодическая функция времени, причем
Ininr(Z)=Tl, maxr(/)=r2.
Для доказательства положим
г г,
Л Г*_dx__ T= Г_—_
* ItYhk-Wv IYhk-W))
Очевидно, что г (и) — периодическая функция и с периодом 2я и u=«/T=const. Период функции г(•) равен, очевидно, 2т.
Угол ф изменяется МОНОТОННО (если, конечно, Ст?0). Точки на орбите, наименее удаленные от центра, называются перицентрами, а наиболее удаленные — апоцентрами. Орбита симметрична относительно прямых, проходящих через точку г=0 и перицентры (апоцентры). Упуі Ф между направлениями на соседние апоцентры (перицентры) называется апсидальным углом. Орбита инвариантна относительно поворота на угол Ф. Если апсидальный угол
ф=2 г-
J r~-\'^ih-Uс)
г і
соизмерим с л, то орбита замкнута. В противном случае она заполняет кольцо Bc, h всюду плотно. Если г2=оо, то орбита не ограничена.
Рис. 8. Орбита в центральном поле
Движение точки по окружности г = г0 называется относительным равновесием. Очевидно, что такое движение равномерное и значения го совпадают с критическими точками приведенного потенциала Uc. Если в точке г=г0 функция Uc имеет локальный минимум, то соответствующее круговое движение орбитально устойчиво.
16-2Теорема 1 (Бертран (I. L. F. Bertrand)). Пусть при некотором сФО имеется устойчивое относительное равновесие и потенциал Uc аналитичен при г>0. Если все орбиты, достаточно близкие к круговой, замкнуты, то U есть либо —va, либо -уIr (v>0).
В первом случае система является гармоническим осциллятором. Орбитами являются эллипсы с центром в точке г=0. Второй случай соответствует гравитационному притяжению. Задача о движении точки в силовом поле с потенциалом U=—у/г обычно называется задачей Кеплера.
Приведенный потенциал задачи Кеплера равен Uc Ir'- г '
Согласно уравнению Клеро (предложение 3), = — P+ ^ -Это линейное неоднородное уравнение легко решается:
P= Л cos (Ф — Фо) + 7г = (1 + ? cos (Ф — Фо)), (2) де е и Фо —некоторые постоянные, р = с2/у>0. Отсюда
1 + е cos —фо)
и, следовательно, орбиты задачи Кеплера — конические сечеиия с фокусом в притягивающем центре (первый закон Кеплера).
При фиксированном сФ0 существует единственное относительное равновесие го=c2/y- Его энергия A0= —Y2/2с2 минимальна. С помощью простой формулы
v2=-r2 + r^2=c2(^ + p''), P' =
интеграл энергии можно записать в следующем виде:
!-(P^P2)-YP=A.
Подставляя в эту формулу уравнение орбиты (2), получим выражение для эксцентриситета e = Vl -\-2c2h!у2. Поскольку