Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
ГЛАВА I
1. Исходя из определения сложения действительных чисел, данного в § 1.1, усильте предложение 4.2, установив неравенство
Вп (х + уХ йп (х) + йп (у) + 10"".
2. (Изучение последовательности частных с точностью до 10“п.) Пусть а, Ъ— два действительных числа, причем Ъ > 0. Покажите (не опираясь на существование частного), что для любого
п е N существует «такое рп е что Ю~прпЬ ^ а < 10" (1 + Рп)Ь.
Покажите, что для (т, п) е М2 имеет место неравенство
10""р„< 10"ш(1 + рт).
Выведите отсюда, что последовательность (\0~'прп) имеет верхнюю грань <7, такую, что дЪ — а, и что Ю~прп есть десятичное приближение порядка п для
3. а) Каковы гомоморфизмы группы (С, +) в себя?
Ь) Покажите, что единственный автоморфизм поля С есть тождественное отображение.
4. а) Пусть ? > 0 — такое целое число, что л/к иррационален* Покажите, что действительные числа вида а-\-Ъ л/к , где (а, Ь) е е О2, образуют подполе К поля К.
Ь) Покажите, что отображение К—> К, а-\-Ъ^к 1—> а —
— Ь д/к является автоморфизмом поля К.
5. Пусть /: Р —>? К — монотонное отображение, удовлетворяющее условиям
(?V (х. у) е К2) / = '/*?•(/ « + / (У)).
Покажите, что / — аффинное отображение (положив ф(я) =*
— можно установить, что ф (х/2) = 7гф(*) и ф (х + У) = Ф(*) + 4>(у))-
6. Подмножество Л с К называется всюду плотным в К, если в каждом (непустом) открытом интервале ]у> V [ с: К содер« жится хотя бы один элемент из А%
272
УПРАЖНЕНИЯ
? ? —........ - ? ' -.- — та
Покажите, что если <2 — архимедова группа без дыр и Я — строго монотонный гомоморфизм <2 в Р, то /г(С?) всюду плотно в Р (воспользуйтесь предложением 6.1).
7. а) Пусть С — упорядоченная абелева группа, удовлетворяющая аксиоме (ВГ) (см. определение 6.2). Покажите, что любое непустое минорируемое подмножество С имеет нижнюю грань«
b) Пусть в — подгруппа в (К, +), не сводящаяся к {0}, и пусть а — т1{? е > 0}. Покажите, что если а = 0, то
С всюду плотна в Р (см. упр. 6).
Покажите, что если а > 0, то С есть множество а2 чисел вида па, где (нужно доказать, что если х — действитель-
ное число, удовлетворяющее неравенствам ра ^ х < (рI) а, где р ^ 2, то х = ра).
c) Выведите отсюда классификацию архимедовых групп, удовлетворяющих аксиоме (ВГ).
8. Пусть С — подгруппа в (К, +), образованная действительными числами вида р + где со — фиксированное иррациональное число и (р, <7) е 22. Покажите, что множество элементов й
счетно и не существует действительного а, такого, что С == а2.
Выведите отсюда, что б всюду плотно в К и отлично от К (воспользуйтесь предыдущим упражнением).
9. Покажите, что мультипликативная группа положительных
действительных чисел архимедова1). Выведите отсюда, что для любого действительного а > 0 существует единственная монотонная биекция Иа из на К, удовлетворяющая условиям На(а) = 1 и Н(ху) — Н(х) +к(у) для любых х, (тем
самым будет доказано существование и единственность лога-
рифма по основанию а).
10. Пусть К — тело (коммутативность не предполагается), снабженное отношением линейного порядка, таким, что если у ^ х, то для любого ге/( имеем у + г ^ х + г, и если 2 > 0/с, то гу ^ гх, уг ^ хг.
a) Покажите, что К имеет характеристику нуль.
b) Предположим, что группа (К, +) архимедова, и обозначим через Н монотонный гомоморфизм (К, +) в (К, +), такой, что /г(1/с) = 1. Покажите, что элементы К вида Я~'р = (Я‘ Ы)-1 (Р* Ц)> где (р. <7)е 2 X М*, составляют подтело К0 тела К и что Н(д~1р) — р/д.
c) Покажите, что для любых х, у из К выполнено равен* ство Н(ху) — к(х)Н(у), и выведите отсюда, что К коммутативно (можно предположить, что X > 0/с, у > 0/с, и воспользоваться оценками для х, у вида 10“ рп < х < 10“ (1 -{- рп), 10“ < у < 10 (1 + ^„)). Заключение: всякое архимедово
упорядоченное тело есть поле.
!) «Положительными» в этой группе считаются элементы >>1, Следует предположить, что а ф 1, — Прим. перевь
УПРАЖНЕНИЯ
273
11. (Элемент наибольшего порядка в конечной коммутативной группе.) Пусть в — конечная коммутативная группа порядка п в мультипликативных обозначениях, с нейтральным элементом 1.
a) Покажите, что для любого ае(? существует целое р ^ 1, такое, что а? — 1 и № Ф 1 при 1 ^ <7 < р. Это целое р называется порядком а.
b) Если а?б — элемент порядка р, то р является делителем п (рассмотрите факторизацию б по подгруппе ва = = {1, а, ..., ар~1}). Покажите, что соотношение ар = 1 (где <7 е М") равносильно тому, что р — делитель <7.
c) Пусть а,Ь — два элемента С порядков р, <7 соответственно, причем р и <7 взаимно просты. Покажите, что аЬ — элемент порядка рс7 (возведите соотношение апвп = 1 в степень р или <7).
б) Пусть т — наименьшее общее кратное порядков элемен-а. аг
тов и и т = р{ ... Рг его разложение на простые множители. Обозначим = т/р{, /г1 = т/р®\ Покажите, что существует
такой элемент ае(/, что аШхФ 1 и элемент Ъ! = аП{ имеет порядок р®1* Покажите также, что для любого / ^ г найдется эле-а •
мент порядка р1 *, и с помощью с) установите, что про-
изведение с — Ь\Ь2 ... Ьг имеет порядок т.
12. С помощью предыдущего упражнения покажите, что если Д — конечное поле, то мультипликативная группа Д* = Д \ {0} циклическая. (Указания: предположив, что Д имеет порядок п, обозначим через т НОК порядков элементов Д*, тогда т делит п — 1, и п—1 элементов Д* являются корнями уравнения Хт — 1 =0; отсюда т = п— 1, и, значит, существует элемент а, такой, что К* — {1, а, ..., ап-1}.)
