Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 6.1. Две пары (Ох, О у), (О'х', О'у'} полупрямых называются конгруэнтными (или, не совсем правильно, равными), если существует автоморфизм / плоскости такой, что /(Ох) = О'х' и 1(0 у) = О'у'.
Это отношение конгруэнтности является, очевидным образом, отношением эквивалентности, классы эквивалентности которого называются неориентированными углами; класс, содержащий пару (Ох,Оу}„
обозначается хОу-
Если полупрямые Ох, Оу совпадают (соотв. противоположны), то класс хОу, образованный совпадающими (соотв. противоположными) парами полу* прямых, есть по определению нулевой (соотв. развер*
нутый) угол хОу. Нулевой угол обозначают просто О, а развернутый со.
Очевидно, что хОу — уОх (так как существует симметрия, переставляющая Ох и Оу).
Подобным же образом, если Ох', Оу'— две полупрямые, соответственно противоположные Ох, Оу, то
х'Оу = хОу (так как симметрия с центром О меняет местами Ох с Ох' и Оу с Оу').
Наконец, как мы увидим далее, пары (Ох, Оу)у такие, что прямые (Ох), (Оу) перпендикулярны, об-
1) В случае противоположных полупрямых их задание выделяет на прямой точку О, но прямая с выделенной точкой есть уже фигура, отличная от самой прямой (для сравнения: отрезок и отрезок с указанной серединой — фигуры разные).— Прим. перев.
6, УГЛЫ
23»
разуют один класс эквивалентности, называемый прямым углом и обозначаемый ?.
Изучение углов будет облегчено благодаря использованию представителей (Ох,Оу), одна сторона Ох которых будет фиксирована, а вторая Оу будет располагаться в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой (Ох).
Предложение 6.1. Пусть Ох—полупрямая и П — замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой (Ох). Для любого неориентированного угла а имеется единственный представитель вида (Ох,Оу), где Оу а
а П (другими словами, отображение Оу *->хОу есть биекция множества полупрямых с началом О, содержащихся в П, на множество углов).
Доказательство. Ввиду очевидности результата для нулевого или развернутого а будем считать, что-а Ф 0, а ф со.
a) Единственность получается немедленно: если
хОу — xOz, то существует автоморфизм /, такой, что f(Ox)— Ох и f(Oy)= Oz, и, значит, сохраняющий каждую точку прямой (Ох). Если Оу, Oz лежат по одну сторону от этой прямой, то отображение f тождественное.
b) Для доказательства существования предположим, что а определяется в виде а = uAv. Обозначим Через Si СИММетрИЮ, ДЛЯ КОТОрОЙ Si(/4)= О. Положим Оих = Si(Au) и Ovi = Si (Av) ; существует симметрия s2 с осью, проходящей через О, такая, что s2(Oni) = = Ох. Если s2(Oyi)c:n, то полупрямая Оу = S2(Ovl) удовлетворяет требуемым условиям; в противном случае достаточно принять за Оу полупрямую, симметричную s2(Oui) относительно Ох. ?.
В частности, существует единственная полупрямая
Оу, перпендикулярная Ох и лежащая в П: класс xO? образован тогда парами перпендикулярных полупрямых и называется прямым углом; он обозначается ?.
240
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Отношение порядка
Выберем полупрямую Ох и замкнутую полуплоскость П, ограниченную прямой (Ох). С каждым углом а = хОу, где Оу а П, мы ассоциируем замкнутый угловой сектор 5а, ограниченный Ох и Оу, и условимся считать, что 5а = П, если а — развернутый угол со, и что 5а = Ох, если а — нулевой угол. Тогда на множестве неориентированных углов получим отношение порядка, полагая а ^ р, если 5ас:5|5. Легко видеть, что это отношение порядка не зависит от выбора пары (Ох, П). Мы покажем, что этот порядок линейный и что снабженное этим порядком, изоморфно замкнутому интервалу в Р.
Так как развернутый угол — наибольший элемент а нулевой угол — наименьший, то достаточно сравнивать ненулевые и неразвернутые углы. Для этого заметим, что всякая полупрямая Ои, содержащая некоторую точку А ф О углового сектора с вершиной О, вся лежит в этом секторе; удобно обозначить замкнутый угловой сектор, ограниченный двумя полупрямыми Ох, Оу, не лежащими на одной прямой, через 5(Ох, Оу).
Предложение 6.2. Пусть П — замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой х'Ох, Оу — полупрямая, лежащая в П, отличная от Ох и Ох', и Л, В, А'— три точки, отличные от О. принадлежащие соответственно полупрямым Ох, Оу, Ох' (рис. 3).
а) Каждая полупрямая Ог, лежащая в П и отличная от Ох, Оу, Ох', пересекает только один из отрезков [АВ], [ВА'\. В зависимости от того, пересекает
*' /
Рис. 3
Рис. 4
6. УГЛЫ
241
она [АВ] или [ВА'], имеем включение Б (Ох, Ог)а с= В(Ох, О#) или 5 (Ох, Оу)а 5 (Ох, Ог).
Ь) Пусть Ои, Оу— две полупрямые, лежащие в Б(0х,0у) и, значит, пересекающие [АВ] в некоторых точках Р, ф (рис. 4). Тогда включение 5 (Ох, Ои) а а 8 (Ох, Ос) равносильно утверждению «Р лежит между А и С}».
Доказательство. а) Аксиома Паша и предложение
3.1 показывают, что прямая (Ог) пересекает лишь один из отрезков [АВ], [ВА']; эта точка пересечения неизбежно принадлежит полупрямой Ог, поскольку она лежит в П. С другой стороны, из определения полуплоскостей и угловых секторов вытекает, что [АВ] а Б (Ох, Оу) и [ВА'] с: В (О#, Ох'). По предыдущему замечанию ОгаБ (Ох, Оу) или Ога 8 (Оу, Ох'), смотря по тому, пересекает ли Ог отрезок [АВ] или [ВА'].
