Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
168
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
(ГЛ. VI
лями из К. Полиномы со старшим коэффициентом 1 называются нормализованными. Ясно, что любой полином из К[х] ассоциирован с нормализованным, и два нормализованных полинома ассоциированы, только если они совпадают. 2. Деление с остатком.
Теорема 1 (о делении с остатком). Для данных полиномов f, g^K[x], g?=0, существуют и единственны полиномы q и г є К[х] такие, что f = gq + г и степень г меньше степени g.
Теорема эта очень похожа на соответствующую теорему теории делимости целых чисел. Полином q называется неполным частным, г — остатком от деления f на g.
Доказательство. Пусть / = а0хп -f- аххп~х + ... + ап, g = b0xm + bixm~l -f ... + bm, причем bo ф 0. Применим метод математической индукции по степени полинома f, считая g фиксированным. Пусть п < пг. Тогда f = g-0 -\- f, так что в качестве q можно взять 0, в качестве г — сам f; оба требования будут выполнены. Этот случай дает базу для индукции. Допустим теперь, что для полиномов степени, меньшей п, теорема доказана и докажем ее для полинома f, считая п^ т. Воспроизведем первый шаг известного процесса деления многочленов, т. е. построим одночлен -^- хп~т и составим разность Z1 = f — ¦^~xn~mg. Полином fi
имеет меньшую чем п степень, ибо при вычитании высшие члены исчезнут. В силу индуктивного предположения найдутся полиномы ol и г такие, что f\ = gqx + ги degr < degg. Тогда
f = Ц" ХП~"1§ + f^Z *B""VhW. + r = (-g- Х*-т+Чі) g + Г.
Оба требования выполнены, если взять q = -~ xn~m-{-qi. Остачо
ется доказать единственность. Пусть f = gq -f- г и"/ = gqx -f г\, причем степени полиномов г w г\ меньше степени полинома g. Тогда g(q — Яі) = гі — г, но степень полинома r\— г меньше степени g. Это возможно, только если г\ — г = 0 и q — O1 = O, т. &.<q — q\,
Г = Г\.
Наибольший общий делитель двух полиномов. Наибольшим общим делителем двух полиномов fi, f2 из кольца К[х] называется полином наибольшей степени среди полиномов с коэффициентами из поля К или любого его расширения делящих оба полинома /і и f2.
Заметим, что мы не предполагаем заранее, что наибольший общий делитель имеет коэффициенты из поля К, и «допускаем к конкурсу» полиномы с коэффициентами из любого, большего чем К, поля Так, для полиномов х2— 1 и х3— 1 (с коэффициентами из поля Q рациональных чисел) наибольшим общим делителем
л/г
будет как полином х—1, так и полином е (х —- 1) или полином (1 + 0 (х-1),
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ для полиномов от одной БУКВЫ
169
Теорема 2. Наибольший общий делитель двух полиномов fi, f2^K[x] единствен с точностью до ассоциированности и делится на любой общий делитель этих полиномов. Коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя полиномов из К[х] принадежат полю К. Нормализованный наибольший общий делитель d(x) допускает линейное представление в виде d(x) = = fi(x)Mi(x)-\-f2{x)M2(x), где M1 и M2—некоторые полиномы
Доказательство. Рассмотрим множество полиномов
Здесь предполагается, что Ni и N2 независимо пробегают все полиномы из К[х]. В этом бесконечном множестве полиномов выберем отличный от нуля полином d(x) наименьшей степени. Покажем, что он является наибольшим общим делителем полиномов fi и /2.
Для этого прежде всего установим, что остаток от деления двух полиномов из множества W принадлежит этому множеству. Действительно, пусть Л] и Zi2 принадлежат W, так что hi = fiNi + f2N2 и h2 = fiNz-j- f2Ni. Тогда остаток г от деления hi на h2, равный hi — qh2, где q — неполное частное, равен fiNi-\-f2N2— q{fiN3-\-+ f2N4) = fi(Ni — qN3) + f2(N2 — qN<) <=W, ибо Ni - qN3 єе K[x] и N2- qNi є K [x].
Теперь легко доказать, что d есть наибольший общий делитель fi и /г- Так как fi є W и d є W, остаток от деления fi на d тоже принадлежит W, но степень этого остатка меньше степени d. Поэтому остаток равен нулю, ибо d — полином наименьшей степени среди отличных от нуля полиномов из W. Таким образом, fi делится на d. Аналогично, f2 делится на d, так что d есть общий делитель fi и /2. Далее, d є W и, следовательно,
при некоторых Mi и Af2. Пусть б — какой-то общий делитель fі и f2 с коэффициентами из К или какого-то большого поля. Тогда, по свойствам делимости, fiMi -j- f2M2 = d делится на б. Поэтому степень d не меньше степени б, так что d есть действительно наибольший общий делитель. Наконец, если dx—какой-либо другой наибольший общий делитель, то его степень равна степени d и, так как d делится на du их частное есть константа, т. е. d и di ассоциированы. Нормализованный наибольший общий делитель do получится из di посредством деления его на старший коэффициент
ао. Коэффициенты d0 = — d принадлежат К, и d0 = fi(— мЛ +
+ f2 f—M2) имеет линейное представление. Тем самым мы до-
казали все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме.
из К[х].
W= {fiNi + f2N2\Nu N2єеК[х]}.
d = fiMi + f2M2
170
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
[ГЛ. VI
Кроме двух свойств, аналогичных тем, которые мы видели в теории делимости для кольца Z целых чисел, следует отметить также, что коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя принадлежат тому же полю, что и коэффициенты данных полиномов. Это существенно и не совсем очевидно. Например, полиномы fx = Xі— 1 и \2 = X3 + 2л:2 + х + 2 с рациональными коэффициентами оба имеют корнем число /, так что нормализованный полином X — і есть общий делитель /і и /2, но это не наибольший общий делитель, ибо его коэффициенты не принадлежат полю рациональных чисел. Как легко видеть, здесь наибольший общий делитель есть X2 + 1 = (х + І) (х — і).
