Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
8. Алгебраически замкнутое поле. Поле К называется алгебраически замкнутым, если любой полином f(x)^K[x] выше чем
€0
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
ІГЛ. III
нулевой степени имеет по крайней мере один корень в поле К. В дальнейшем будет доказана так называемая «основная теорема алгебры», утверждающая, что любой полином с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Иными словами, основная теорема алгебры утверждает, что поле JQ комплексных чисел алгебраически замкнуто. По существу, эта теорема принадлежит скорее к математическому анализу, чем к алгебре, так как для ее доказательства нужно привлечение средств анализа. Она будет доказана в гл. IX.
Другие знакомые нам поля не замкнуты алгебраически. Так, в поле Q рациональных чисел полином х2— 2 не имеет корней, в поле R действительных чисел не имеет корней ПОЛИНОМ X2 + 2. Нетрудно установить, что поля GF (р) вычетов по простым модулям тоже не алгебраически замкнуты.
Теорема 7. В алгебраически замкнутом поле любой полином а0хп + а\хп~х -f- ... -f- ап, а0ф0, п~^\, имеет разложение на линейные множители вида ао(х — Ci) (х— C2) ... (х — Cn), и такое разложение единственно.
Доказательство. Оба утверждения теоремы будем доказывать методом математической индукции по степени полинома.
Начнем с доказательства возможности разложения. Полином первой степени Oox + ai при апф0 в любом поле имеет корень
с=— — , и а0х4-ах = а0(х — с).
Пусть теперь п>1. В силу алгебраической замкнутости f(x) имеет по крайней мере один корень Ci ей и, следовательно, f(x) =
= (Х —C1)Zi(AT)1TAe fi(x) = O0X"-1 + b\Xn~2 + ... + bn-i — полином
(п—1)-й степени. В силу индуктивного предположения fi(x) = = а0(х — C2) ... {х — сп), откуда /(х) = а0(х —• Ci) (х — C2) ...
. . . (Х — Cn) ¦
Теперь докажем единственность разложения, снова по индукции. При п=\ она очевидна: если а0х + а\ = а0(х — с) = = а0(х — с'), то а0(с'— с)== 0, откуда с'= с, ибо а0фО.
Пусть теперь п > 1 и имеются два разложения: f (х) = а0(х —
— C1)(X — C2) ... (х—с„)=а0(х—-с[)(х— Cj) ... (х — с'п). Положив X = с\, получим
/(CO = O = O0(C1-O(C1-Cj) ... {Cx-Cn).
Из равенства нулю произведения заключаем о равенстве нулю одного из сомножителей. Так как айФ0, должен обращаться в нуль один из следующих сомножителей и, без нарушения общности, можно считать, что с,—с' = 0, иначе можно изменить нумерацию элементов с[, с'2, с'п. Итак, с[ = су и
«0(*-О(*-С2) ••• (*-?«) = fl0 (*-Cl)(*-C0 (*-<)•
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
61
Так как кольцо полиномов над полем есть область целостности, можно сократить обе части равенства на х—сь Получим
а0(х - с2) ... (X - сп) = а0(х~ с'г) ...(х- с'п).
В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно, совпадают и исходные разложения f(x). Теорема доказана полностью.
Среди сомножителей в разложении
/(*) = а0(х — Ci) (х — с2) ... (х — сп)
могут быть равные. Соединив их в виде степеней, получим разложение в виде
f (X)=O0(X- с,)™! ... (x-ck)mk, '
где Ci.....Ck уже попарно различны.
Ясно, что Ci.....Ck являются корнями полинома f(x) и других
корней f(x) в поле К не имеет. Показатели mi ms называются кратностями соответствующих корней.
Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности 2 — двойными или двукратными, и т. д.
Из последней формы разложения полинома на линейные множители следует, что в алгебраически замкнутом поле число корней полинома равно его степени, если условиться считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
§ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени
Этот параграф имеет скорее историческое, чем научное значение. Правила решений алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более .высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения уравнений частных видов. В 16-м веке в Италии несколькими математиками одновременно был открыт способ алгебраического решения кубических уравнений. Он был опубликован не первооткрывателем метода, но выдающимся разносторонним ученым Кардано, имя которого известно теперь каждому автомобилисту и трактористу, так как Кардано изобрел простое и практич-йое приспособление для передачи вращения с одного вала на другой, не жестко скрепленный с первым. Ученики Кардано обнаружили, что решение общего уравнения четвертой степени можно свести к решению кубического уравнения и нескольких квадратных.
1. Алгебраическое решение уравнений третьей степени. Общее кубическое уравнение имеет вид
O0X3 + ахх2 + а2х + а3 = 0.
62
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
[ГЛ. III
Мы будем считать, что коэффициенты — комплексные числа, и задача состоит в отыскании комплексных корней. Без нарушения общности можно считать, что ?o = 1, ибо Oo ф О и на него можно
поделить обе части уравнения. Сделаем замену х = у--. Получим [у — ¦y-)3 + «!^ — ^ff + a2(y— -7р) + а3 = 0 и, раскрывая скобки и приведя подобные члены, придем к уравнению
