Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
невозможно.
4. Примеры. Рассмотрим несколько примеров.
1. F(xx, х2, Xn) = х\ + х% + ... +хп.
Первым членом представления через основные симметрические является f\. Ясно, что F — Px = — 2f2, так что F = /2 — 2fr
2. F(xx, X2.....Xn) = х] + х\ + ... + х'п.
Первым членом представления является f\. Во избежание громоздких вычислений применим следующий прием. Прежде всего выясним, какие показатели могут быть у высших членов симметрического однородного полинома третьей степени. Задача эта сводится к разбиению числа 3 на невозрастающие слагаемые. Таких разбиений три: 3 = 3; 3 = 2+1; 3 = 1 + 1 + 1. Поэтому представление однородного симметрического полинома третьей степени имеет вид Af\ + BfJ2 + Cf3. Нужно найти коэффициенты. Очевидно, что A=I, ибо таков коэффициент при х3. Таким оэ> разом,
xi+ xl+ ... +Xl = P1 +BfJ^ +Cf3-
288
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
1гл XI
Это равенство должно быть тождественным, т. е. сохраняться при всех значениях букв хь х2, ..., Xn. Положим Xl = X2 = 1, X3 = ... ... =хп = 0. Левая часть равна 2, правая равна 23 + 2?, откуда B = —3. Положим теперь Xi = X2 = X3= \, х*= ... = х„ = 0. В левой части будет 3, в правой З3 — 3•3•3+C, откуда С = 3. Итак:
х] + х1+ ... + Xn = P,-ZfJ2 +3f3. 3. F = (Xi-X2)2 (xi — X3)2 (X2-X3)2.
Этот пример нам понадобится в § 3.
Ясно, что F — симметрический полином и его высший .член равен х{х2. Нам следует установить показатели высших членов, которые встретятся при представлении F в виде полинома от основных. Эти показатели должны составлять разбиения числа 6 на три или меньше невозрастающих слагаемых, причем эти разбиения должны быть лексикографически не выше разбиения 6=4+2. Такими разбиениями являются 4 + 2, 4+1 + 1, 3 + 3, 3 + 2+1, 2 + 2 + 2. Поэтому представление F через основные имеет вид
F = ПП + Af\h + BfI + CfJJ3 +
Зададим такими значениями для хи х2, X3, чтобы в правой части были нули, но аннулировались бы не все слагаемые. Например, рассмотрим следующую таблицу значений:
JC)
JC2
'г
h
F
1
-1
0
0
— 1
0
4
1
1
—2
0
—3
—2
0
2
2
— 1
3
0
-4
0
I
1
1
3
3
1
0
Подставляя значения из этой таблицы, получим:
А = -В,
0 = — 27 В + 4D,
0 = — 108Л + 16D,
0 = 81 + 27 А + 27В + 9С + D,
откуда В = —A, D=—27, A =-А, С = 18. Итак, F = f2f2 - А}% - Af3 + 18/,у, - 27f2.
§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома
1. Выражения значений симметрических полиномов от корней полинома через его коэффициенты. Пусть полином f(x) == hoXn + + OiX"-1 + ... + апе КIx] имеет корни с\, с2, ся в некото-
ЗНАЧЕНИЯ ОТ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
289
ром расширении поля /С. Тогда
f(x) = aQ(x — Ci) (X-C2) ... (х — сп).
Раскрыв скобки и сравнив коэффициенты при степенях буквы х, получим:
а, = — а0(с,+ С2+ ••• +сп),
CL2 = CL0 (C1C2 + C1C3 + ... +Cn^Cn),
u„_i =(—-0"-1O0(CiC2 ... ?„-1+ ... +с2с3 ... Cn), ап = (—\)пайсхс2 ...сп.
Мы видим, что значения основных симметрических полиномов от Ci1 с2, Cn просто выражаются через коэффициенты:
/і(С|. с2, Cn)= ,
f2(C\, C2, Cn)=—,
Un
fn-i(C\, C2, Cn) = (— 1)
n-1 an—і
a0
/„(Cl, C2.....?„) = (-1)» ^2..
Пусть теперь F(JC1, х2, Xn) = AxI1 •••*"" + • • • — симметрический полином с высшим членом Ахах1х2* ... Xn11. Тогда F(X1, х2, .... *„) = ... #. + b/f.-fy3,-?,_fPn + ...
Следовательно,
. .а, -а, а,-о,
.....«J-^-v) (І) —
• • • (<-•)•- ^¦)'-'"- (<-»" г)""+- (-їГ' о'"3'- • •
¦.¦((-'1-^1'""'(Ht)''+...
В первое слагаемое множитель —1 войдет с показателем ai — а2 + + «3 — 04+ ... =0^+0^ + 0?+ ... + a„(mod2). Но см + + а2+ ... + ап = т — степень одночлена Ax71X21 ... хапп. Если полином F однородный степени т, то во все слагаемые войдет множитель (—\)т. В знаменатель первого слагаемого правой части войдет 0"1""2+«2-«3+•••+«,I = я"!, соответственно в знаменатель второго слагаемого войдет а^, причем ?i ^ «і и т. д. Поэтому
290
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
ГГЛ Xl
для однородного симметрического полинома степени т будет (-1)" off (с„ C2.....Cn) =
= Aa11 -Ха_в» • • • <#* + "X1" V*~?* • • • + ...,
т. е. а^Р(сх, с2, Cn) является полиномом от коэффициентов полинома f(x).
Пример. Доказать, что корни полинома
не могут быть все вещественными при любых вещественных коэффициентах аз, ..., ап.
Действительно, сумма квадратов корней равна а2— 2а2 = — 2. Если бы все корни были вещественные, сумма их квадратов была бы положительным числом.
2. Степенные суммы. Пусть f(x) = (х— Х\) (х — X2)...{х — — Хп) = хп — fix"-1 + ^"-2 + ••¦ +(—l)"fn- Вспомним, что
Y (X) = (X — X2) (X — X3) . . . (X — Xn) + (X — X1) (X — X3) ...
п
...(X — Xn)+ ... +(X — Xx) (X — X2)... (x —*„_,) =
1-І 1
f (х)
Вычислим воспользовавшись схемой Хорнера. В ре-
зультате последовательно получим коэффициенты частного:
1. *,-/„ х\-I1X1 +h.....АГ1"/,*?-2+ ••¦ +(-iV-'f».,-
Таким образом, коэффициент при хп~1~к равен
