Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Важность этого примера состоит в том, что пространство классов смежности является изоморфной моделью для любого однородного G-пространства.
Уточним сказанное.
Скажем, что Gi-операторное множество AJi и 02-операторное множество Af2 изоморфны, если группы Gi и G2 изоморфны и имеется взаимно однозначное соответствие между элементами Aft и Af2, сохраняющееся при применении соответствующих друг другу элементов групп Gi и G2.
Теорема 1. Любое однородное G-пространство Af изоморфно пространству классов смежности по некоторой подгруппе.
Доказательство. Пусть то — некоторая точка пространства Af. Рассмотрим множество H всех элементов группы G таких, которые не изменяют т0, т. е. таких 2еС, что m0z = m0. Очевидно, что такие элементы образуют подгруппу группы G, ибо если m0z = то, то m0zz~l = m0z-{, т. е. т0г~1 = то, и если m0Z\ = = то и WoZ2 = mo, то mo(z]Z2) = (m0zi)z2 = moZ2 = m0. Подгруппа H называется стабилизатором точки т0. Возьмем теперь любую другую точку mi. Так как Af однородно, т. е. состоит из одной орбиты, найдется элемент ieG такой, что mox = mx. Выясним, какие еще элементы преобразуют т0 в mi. Пусть т0у = ти Тогда
262
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
тоху-1 = т\у-х = т0, так что ху~х ей и хє Ну. Таким образом, элементы из G, одинаково преобразующие точку т0, принадлежат одному левому классу смежности по стабилизатору. Обратно, если элементы X и у принадлежат одному левому классу'смежности по стабилизатору, то тох = т0у. Таким образом, между точками однородного пространства M и левыми классами смежности по стабилизатору имеется взаимно однозначное соответствие. Оно сохраняется при умножении справа на элементы G. Действительно, если Ш\ = т0х, то точке т\ соответствует класс Hx. Пусть т2 = т\у = тоху. Этой точке соответствует класс Нху = (Hx) у. Теорема 1 доказана.
Сделаем одно замечание. Мы установили, что однородное пространство изоморфно пространству левых классов смежности по стабилизатору некоторой точки т0, выбранной произвольно. Но у разных точек стабилизаторы различны. Почему же выбор точек т0 произволен? Для того чтобы в этом разобраться, выясним, как связаны стабилизаторы различных точек. Пусть, как и раньше, стабилизатор точки т0 обозначен Н. Для любой другой точки тх имеем тх = тох при некотором л* є G. Равенство mxz = ih\ равносильно равенствам гщхг = тох, m0xzx~l = m0, что имеет место в том и только в том случае, если xzx~l<^H, т. е. Z^x-1Hx. Таким образом, стабилизатор точки ni\ есть Xr1Hx.
Изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом группы. Отображение а<—>х-хах при фиксированном X є G есть, очевидно, отображение G на себя, причем изоморфное, ибо х~ха\й2Х = (X-1OiX) (х~]й2х), т. е. оно является автоморфизмом. Такой автоморфизм называется внутренним. При этом автоморфизме подгруппа H группы G переходит в сопряженную подгруппу Xr1Hx. Левый класс смежности На переходит во множество х~хНах = X-1HxX-1UX, которое является левым классом смежности по подгруппе X-1Hx1 порожденным элементом X-1OX. Ясно, что преобразование классов смежности по подгруппе Н, вызванное умножением справа на гєС, будет таким же, как преобразование классов смежности по подгруппе X-1Hx, вызванное умножением справа на элемент xrxzx. Поэтому пространство классов смежности по" подгруппе H изоморфно пространству классов смежности по сопряженной подгруппе х~хНх.
Наличие такого изоморфизма может служить объяснением того, что при доказательстве теоремы 1 можно было взять точку то и ее стабилизатор произвольно.
4. К теории подстановок. Как уже говорилось, подстановками называются взаимно однозначные отображения на себя конечных множеств. Будем считать, что (1, 2, п) — множество, на котором действуют подстановки. Пусть а — некоторая подстановка и 1, о, о"*-1 — циклическая группа, порожденная подстановкой а. Множество переставляемых элементов разбивается на орбиты, и подстановка вполне определяется тем, как она действует на каждой
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
263
орбите. Пусть ао — один из переставляемых элементов. Обозначим через а\ тот, который получается из ао применением подстановки о, через а2 тот, который получается из а0 применением а2 (т. е. применением я к ai), и т. д. При продолжении этого процесса в конце, концов вернемся к элементу а0. Таким образом, элементы орбиты, содержащей а0, естественно располагаются в порядке (ао, а\, ak-i), в котором подстановка а переставляет элементы по кругу. Таким же образом элементы располагаются на всех орбитах. Подстановка разбивается на циклы:
а = (а0, аи .... ak-\) (Ь0, Ьи .... bm-i) ... (со, й, c*>-i).
Если каждый цикл (ао, аи а*-і) рассматривать как подстановку, циклически переставляющую элементы ао, аі, а*-і и оставляющую все остальные элементы на своих местах, то мы можем рассматривать равенство
а = (а0, аь .... ак-\) (b0, Ь\, Ьт-\) ... (со, с{, .... Cp-i)
как разложение подстановки в произведение циклов, попарно не содержащих общих элементов.
Легко видеть, что цикл (а0, а\, ак-і) допускает такое разложение в произведение транспозиций:
