Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Екимова М.А. -> "Задачи на разрезание" -> 24

Задачи на разрезание - Екимова М.А.

Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание — М.: МЦНМО, 2002. — 120 c.
IS BN 5-94057-051-8
Скачать (прямая ссылка): zadachi2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 >> Следующая

10.17. а) Указание. Диагональ пересекает (19 + 98 — 1) клеток. Следовательно, к исходному разбиению добавляется 116 частей. Всего будет 1862 + 116= 1978 частей.
б) Указание. Прямоугольник разобьем на 4 прямоугольника размером 49 X 999 клеток; диагональ пересекает 2 из них. Числа 49 и 999 взаимно просты. Поэтому на каждом из двух малых прямоугольников диагональ добавляет 49 + 999 — 1 = 1047 частей. Всего будет 195804 + 2 • 1047= 197898 частей.
10.18. Решение. Первый способ. Вырежем два малых кружка равного радиуса, один с центром в отмеченной точке, а другой — концентрический большому кругу (рис. 252). Теперь поменяем эти кружки местами.
Второй способ. С центром в отмеченной точке проведем окружность того же радиуса, что данная. Дальнейшее очевидно.
10.19. Решение. Любой тупоугольный треугольник можно разрезать на 7 остроугольных треугольников. Пусть O — вписанная окружность данного треугольника ABC с тупым углом C (рис. 253). Проведем к окружности O касательную DE (точка D на отрезке AC, точка E — на отрезке AB, AD = AE. Проведем касательную FH (точка F на AB, точка H — на BC, BF = BH). Соединим центр окружности O с точками C, D, E, F, H. Докажем, что все семь треугольников, на который разбивают треугольник ABC проведенные отрезки, остроугольные.
С
Рис. 252
Рис. 253
Ответы и решения
115
Очевидно, достаточно рассмотреть треугольники с вершиной O. Рассмотрим треугольник OCD. Так как OC — биссектриса угла DCH, то IDCO острый. Аналогично, LCDO острый (так как DO — биссектриса LCDE). Углы DCH и CDE тупые. Поэтому LDCO <<? << 45°, LCDO <<? <<45°. Следовательно, LCOD? <<??90°. Аналогично для остальных четырех треугольников.
Докажем, что никакой тупоугольный треугольник ABC нельзя разбить на n? <<??7 остроугольных треугольников. Пусть разбить можно, и n — наименьшее такое число. Некоторый разрез выходит из точки C и не доходит до AB (иначе для другого тупоугольного треугольника число n можно уменьшить). Рассмотрим лучи, выходящие из точки O — конца этого разреза CO. Этих лучей не менее 5, так как соседние лучи должны образовывать острые углы. Каждый из них проведен до некоторой стороны треугольника ABC (если бы какой-то из них заканчивался в точке Oi внутри треугольника ABC, то из точки Oi выходило бы не менее 5 лучей, и общее число треугольников было бы не менее 8). Кроме того, к каждой стороне треугольника ABC подходит не более двух отрезков, выходящих из точки O. Иначе, рассуждая как раньше, мы нашли бы тупоугольный треугольник, для которого число n можно заменить меньшим. Отсюда следует, что ни один из отрезков, выходящих из точки O, не заканчивается ни в вершине A, ни в вершине B треугольника ABC. Поэтому точки A и B принадлежат некоторым другим остроугольным треугольникам, так что общее число остроугольных треугольников не менее 7.
10.20. Решение. Длину дуги выпуклой считаем со знаком «+», а вогнутой со знаком « —» (рис. 254). Сделав разрез, мы не меняем сумму длин всех дуг, подсчитанную с учетом знаков. Вначале эта сумма была положительной (длина границы круга), а если бы можно было перекроить круг в квадрат, она стала бы нулевой. Значит, перекроить круг в квадрат нельзя.
116
§11. Площади фигур
Рис. 254
§11. Площади фигур Урок 11.1
11.1. Решение. Из рис.255 видно, что окрашенная часть звезды равносоставлена с остальной частью.
Рис. 255 Рис. 256
11.2. Решение. На рис.256 показано как разбить восьмиугольник на 12 областей (6 белых и 6 черных). Соответствующие области равной площади (одна черная и одна белая) обозначены одинаково. Поэтому сумма площадей белых участков равна площади черного участка.
11.3. Решение. Первый способ. Если перегнуть треугольник по прямым MN, KM, NH, то вершины треугольника ABC сойдутся в одной точке (рис. 257); из рисунка видно, что закрашенная часть равно-составлена с остальной частью треугольника.
Второй способ. MN = 2 AB (так как AB — средняя линия треугольника ABC), Skmnh = KM • MN, = 1 h (где h — высота треугольника ABC), Skmnh = 1 h • ^AB = 2 Sabc .
Ответы и решения
117
11.4. Решение. Из рис.258 видно, что площадь закрытой части листка больше площади открытой на величину площади закрашенного прямоугольника.
11.5. Решение. Эти площади равны, что видно из рисунка 259. Данный шестиугольник разбит на три параллелограмма. Половина каждого параллелограмма белая, а половина — черная.
Рис. 257
что
Рис. 258 Рис. 259
11.6. Решение. Сумма всех углов шестиугольника равна 720°, так,
LA + L B + L C = Z A1 + L B1 + L C1 = 360°.
Это означает, что из треугольников BiCAi, AiBCi и CiABi можно сложить треугольник (рис. 260). Его стороны будут равны AiBi, BiCi, AiCi, то есть треугольник AiBiCi разбивается на треугольники, соответственно равные BiCAi, AiBCi и CiABi. Отсюда все следует.
Рис. 260
118
§11. Площади фигур
Урок 11.2
11.7. Решение. Область 1 вместе с областью 3 занимают половину площади щита (рис.261), так как это полукруг: площадь щита равна (пД2)/4, а площадь полукруга равна (п(R)2)/2 = (пД2)/8. Область 2 вместе с областью 3 также занимают половину площади щита. Поэтому площади областей 1 и 2 равны.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed