Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
-2/а Kq1- q2) 0,FIm4t0 =
= (г7Д2) (F+2 cos ф + 7+I sin i|>) C^+f/sin2 Є =
= (F+2 cos if + F+1 sin t|>) CT+22/sin2 0. (302)
9 Чандоасекао С.
250
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Подобным же образом находим
-2io[qx (qx -д2)У'21тг*Ъ =
= 1I/' (F_2 cos if -j- Y-i sin if) CT+2/s'm2 0 =
= V4 (F-2 cos \p + F_, sin if) CT+^/sin2 0. (303)
Аналогичные вычисления могут быть выполнены и для Re ?0, но это едва ли необходимо, поскольку из общих соображений ясно, что при этом получится такое же соотношение с единственным отличием: множитель 2io в левой части уравнения (302) будет отсутствовать (ср. с уравнениями (345) и (353) гл. 4).
а. Максвелловские скаляры ф0 и фх. По определению
*»-F{p)(q)VW\ (304)
где круглые скобки подчеркивают, что индексы относятся к тетрадной системе отсчета, в которой были записаны уравнения (117) и (118). Базисные изотропные векторы тетрадной системы даются уравнением (333) гл. 4, и, свертывая тензор Максвелла с этими векторами, получаем
*о = (е-IV 2) [i (F01 + Fn) + (F03 + F23)]. (305)
Заметим, что ф0 опять разлагается на аксиальную и полярную части.
Рассмотрим сначала аксиальную часть:
Im = (е~7 V2") (Пі + F21) = (e~2v/r У 2 sin 9) х
X (revF01 sin G + revF21 sin 9). (306)
Член с F2i можно переписать, воспользовавшись уравнением (120), следующим образом:
iarevF21 sin G = e2v (revF01 sin 0), r = (revF01 sin 0),
(307)
Следовательно,
Im ф0 = (rlio У2 A sin 0) A+ (revF01 sin 0) =
= (rlio У 2 A sin 0) A+ (revB), (308)
где вместо F01 sin 0 мы написали В в соответствии с уравнением (131). Подставляя теперь значение revB из уравнений (138) и (143), получаем
_ dC-3/2
-2 У2 KTLi Im ф0 = (г/А) Л+#Г —g2- . (309)
Вследствие рекуррентных соотношений, которым удовлетворяют функции Гегенбауэра, имеем
і dcr?L2 Q _
47. Задача об отражении и прохождении волн
251
Поэтому, подставляя из уравнения (299) значение для Н{ \ получаем
V8Za1I (,і* + 2) [2q{ (q{ - q2)]m Im ф0 =
= (г/А) A+ (Z!_) cos if - Z2^ sin if) Pi9 e, (311) причем в силу уравнения (281)
(г/А) A+Z<-> = |>2 (fx2r + ^y)]-1 - qiZn (312)
Подобным же образом, рассматривая выражение
h = P(P) (c)fh{P)n{q) = (ev/2 [і (F0I + F21) + (F03 + F23)], (313) находим
а/,*стц (ц2 + 2) [2ft (ft - ft)]1'2 Im =
= (1/2г)Л_ (Z{_) cosij; - Zt sin ?) P/. в, (314)
где
(Mr) А-ЇҐ = [A//"4 fciV + ^)] (цХ_у - ftZf >)• (315)
Рассмотрим теперь полярную часть <j>0, равную Re ф0. Подставляя значения F03 и F23 из уравнений (159) и (165), находим
Re^0 = - (г/2 AQ* |/2") Л+(/*Вм) Рг>е. (316)
С другой стороны, в силу уравнений (181), (190) и (193) имеем
/-2O23 = -Q.\iH[+) - (2Q2Jr) {rX/n - Ht) =
= -Q,utf,(+) - (2Q» ev<D. (317)
Следовательно,
2 К2~Re = И (г/Д)Л+ [Я,(+) + (2Q,/F) evф}/>, е. (зів)
Мы снова можем заменить член с Я|+) в предыдущем уравнении выражением
(г/А) A+Ht = (г/А) [ft (^ - ft)]-1/2 A+ (Zt cos ф - Z2+' sin ?),
(319)
где в силу уравнения (281)
(r/A) A+Zi+) = [г2 (u2,- + ft)]"1 (ilX, + ftZ{+)). (320)
47. Задача об отражении и прохождении волн; матрица рассеяния
Обратимся теперь к фундаментальной проблеме, для решения которой развивалась теория возмущений черной дыры: проблеме взаимодействия черной дыры с падающими волнами различной природы.
Напомним прежде всего, что уравнения и для аксиальных, и для полярных возмущений удалось свести к паре одномерных 9*
252
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
волновых уравнений (для каждого типа возмущения по отдельности) с действительными положительными потенциалами, которые убывают пропорционально обратному квадрату расстояния при г* -> -f оо и экспоненциально убывают при г* -> —оо. Вследствие короткодействующего характера этих потенциалов задача исследования каждого уравнения сводится к задаче о проникновении через барьер: т. е. нужно искать решения, удовлетворяющие стандартным граничным условиям:
e^ + Rt(a)e-^ (г.-. + оо),
T<t(o)e+^ (г.—со). (321)
Как было показано в § 43, вид потенциалов Vt\ описываемых уравнениями (197), позволяет выразить решение Z\*\ как это было сделано в уравнении (199), в виде линейной комбинации функции Zr} и ее производной, и обратно. Из анализа, проведенного в § 27, и из уравнения (199) следует (ср. с уравнениями (168) и (169) гл. 4), что
Rt (о) = Rt (o)ei6i, Tt (о) = Tt (а), (322)
Є - |і» (,і» + 2) + 2ioq, У, 1-h А Іфі). (323)
В силу этих простых соотношений между амплитудами отраженных и проходящих волн, принадлежащих к двум классам возмущений, мы можем в оставшейся части параграфа опустить верхние индексы, отмечающие принадлежность функций к определенному классу возмущений, понимая, что последующий анализ приложим равно к функции Zt, и к функции Zt-
Определим матрицу рассеяния по отношению к рассеянию каждым из двух потенциалов Vi (i = 1, 2, индексы «+» и «—» опускаем!) следующим образом (ср. с § 28 гл. 4):
(*= 1, 2). (324)
Tt(O) R1(O) Ri(o) Tt(O)
