Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Эти корни действительны и различны, если M2 > Q^. Будем предполагать, что это неравенство выполнено. Поскольку
Д>0 (r>r+, 0<г<г_), А<0 (r_<r<r+), (39)
dZ = — (1 - 2M/Z + Q2JZ2) [А (и) du+ В (v) dv].
(33)
dr = —(Л/г2) [А (и) du + В (V) dv],
ds2 = —4 (Д/r2) А (и) B(v) du dv — г2 dQ2,
(35) (36)
где
Д = г2 — 2Mr + Ql. Пусть г± — корни уравнения Д = 0:
(37)
№
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
все пространство-время делится на три области:
А: 0 <г<г_, В: r^<r<.r+, С: г>г+. (40)
Мы увидим, что поверхность г = г+ — горизонт событий, аналогично поверхности г = 2М в пространстве-времени Шварцшильда, а поверхность г = г_ не является горизонтом событий, но это тоже «горизонт», природу которого мы установим ниже. Удобно уравнение (35) переписать в следующем виде:
dr* = —[А (и) du + В (V) сЫ, (41)
где
f (r2/A) dr = г + —^— In I г — r+1 — In I г — г_ |. (42)
По определению
- 00 </-*<+ оо (Г+<Г< , оо),
+ оо >/-„> - оо (г_<Г<Г+). (43)
Воспользуемся оставшейся свободой выбора координат и HVH, следовательно, функций А (и) и B(v), чтобы лучше выявить структуру пространства-времени. В областях Л и С выберем
А (и) = -В (V) = V2 (44)
и положим
dt = 1U {du + du). (45)
Тогда
и = t-r„ V = t + r„ (46)
и метрика принимает вид
ds2 = (Mr2)du dv — r2 dQ2, (47)
или, что то же самое,
ds2 = (А/г2) (dt)2 — (г2/A) (dr)2 — г2 [(d9)2 + sin2 9 (dcp)2]. (48)
Именно в таком виде обычно записывают метрику Рейсснера— Нордстрема.
В области В выберем другие функции А (и) и B(v):
A(u) = B(v) = -l/2. (49)
Полагая
dt = 1Z2(Au-Av)9 (50)
получаем
u = r* + t9 v = r*—t. (51)
Метрика теперь принимает вид
ds2 = (I A \/r2)du dv — г2 dQ2. (52)
При таком выборе функций в областях Л, В и С все три части многообразия могут быть представлены при постоянных значениях координат 9 и ф «блоками», показанными на рис. 13. Стрелки на этом рисунке указывают, как отождествляются края блоков.
38. Структура пространства-времени
213
о
а
CX
о
о о
S X
CD
Он
?
оз
CQ H O
я
Он
с
5
О
214
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордсгпрема
Кроме того, существуют еще области Л', В' и С, соответствующие областям Л, В и С и получаемые из последних преобразованиями
^ ->--Uj V -> —rj (эти преобразования переворачивают световые
конусы). Максимальное аналитическое расширение решения Рейсснера—Нордстрема получается, если соединить копии этих шести блоков аналитическим образом так, чтобы общие края покрывались или системой координат (и, г), или системой координат (vy г) (исключая углы каждого блока). Получающаяся при этом «лестница» показана на рис. 14, она может быть продолжена в обе стороны до бесконечности. Основная причина, заставляющая делать такое расширение — это требование геодезической полноты многообразия, которое означает, что все геодезические, кроме тех, что прерываются в сингулярности, должны иметь бесконечную длину при продолжении как в будущее, так и в прошлое.
Аналитическое описание максимально расширенного пространства-времени может быть получено следующим образом. В областях Л и С введем координаты U и V:
tg U = — е-*и-= — е~аи-г*) := — e~at \e+ar I г — r+11/21 г — г- |-р/21,
(53)
tg V =~ + e+av = + Є+а<'+г*> = +Є+аі {Є+аг I Г — Г+ I1/2 I Г — r_|-?/2},
(54)
где
а = (гf - r_)/2r2+, ? = ri/^ (а>0, ?<l). (55)
В области В положим
tg [J Lz -f е+аи = + е+а<'+'*> = +е+а' {e+0" I Г — rf I1/2 I Г — Г_ |-?/2},
(56)
tg V = + e+au = 0+«(-H-'.) = + e~at \e+ar \r — r+11/21 r — r_ |-?/2}.
(57)
В этих координатах метрика принимает «универсальный» вид: ds2 = —(4/«2) I г - r+ IJI г - r_ j cosec 2U cosec 2V AU dV - г2 d?2,
(58)
причем г определяется из уравнений
tgt/tgy= f-^|r-/-+||/--r_|-? (r>r+1 0<r<r_),
|+ва«г|г_г+|,г_г_|-э (r_<r<r+). (59)
На рис. 13 указаны значения U и V вдоль различных краев блоков. Метрика, определяемая уравнением (58), аналитична всюду, кроме поверхности г = г_э потому что в уравнении (59) величина I г — г_\ возведена в отрицательную степень, но на этой поверхности г = г_ метрика принадлежит по крайней мере к классу С2. Использование изотропных геодезических в качестве коор-
38. Структура пространства-времени
215
Рис. 14. Максимальное аналитическое расширение пространства-времени Рейсснера — Нордстрема. Различные области Л, В и С, изображенные на рис. 13, объединены вместе, области А', В' и С получаются из областей Л, В и С преобразованиями и -> — и, u -> — у. Полное расширение получается при таком соединении копий этих шести блоков, при котором общие края покрываются (и, г)-или (у, г)-картой. Показаны также времениподобная геодезическая, которая выходит из области С и пересекает оба горизонта, и часть возможной времениподоб-ной мировой линии наблюдателя.
216
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
динатных осей позволяет наглядно представить структуру пространства-времени. Ясно, например, что часть пространства-времени, лежащая вне поверхности г+ (в области С), очень похожа на соответствующую часть пространства-времени Шварцшильда, лежащую вне поверхности г = 2М: любой наблюдатель, который, двигаясь вдоль времени подобной траектории (в направлении будущего), пересекает поверхность г = г+ (линия CD на рис. 13), навсегда «пропадает» для внешнего наблюдателя (который находится в области С). Кроме того, любой световой сигнал, полученный внешним наблюдателем в момент пересечения поверхности r = г+> будет иметь бесконечно большое красное смещение (поскольку dt/dt+оо, см. уравнение (70) в § 40). Поверхность г = г+ является, таким образом, горизонтом событий в том же смысле, что и поверхность г = 2М в пространстве-времени Шварцшильда. Однако наблюдателю, который пересек горизонт событий в геометрии Рейсснера—Нордстрема, предоставляется много возможностей для наблюдений. Этой возможности лишен наблюдатель, пересекающий горизонт событий в геометрии Шварцшильда, поскольку после этого он неизбежно попадает в сингулярность г = 0. Напротив, аналогичный наблюдатель в геометрии Рейсснера—Нордстрема, находясь в области 5, имеет выбор: он тоже может попасть в сингулярность г = 0, но, кроме того, он может, двигаясь вдоль времениподобной траектории (направленной в будущее), пересечь поверхность г = г_ (линия CE на рис. 13) и попасть в область Л'. В момент пересечения поверхности г = г. перед таким наблюдателем развернется панорама всей истории внешнего мира в виде вспышки лучей света с бесконечно большим фиолетовым смещением (вследствие того, что dtldx-*- —оо при г -> r_ + 0; см. уравнение (70) ниже), идущих вдоль линии BCCЕ. В области Л' будущее нашего наблюдателя уже не определяется его прошлой историей —область А\ лежит вне области зависимости пространственной гиперповерхности, ^проходящей через области С и С на рис. 14. По этой причине поверхность г яг. называется горизонтом Коти.
