Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
X=X1-^-, (3)
dxi v ;
где Xi — любой набор п чисел. Эти касательные векторы возникают при рассмотрении кривых X, заданных функциями
X1Q) = X1 (р)-\-X>t, (/=1,..., я), (4)
где t принадлежит некоторому малому интервалу — є •< t < < +е. •
2. Элементы дифференциальной геометрии
19
Касательные векторы в точке р образуют линейное векторное пространство над R1, натянутое на координатные производные; другими словами, векторы (д/дх*')р образуют базис этого векторного пространства, так как, во-первых, соотношение
(оХ -f ?Y)/ = a(X/) +?(Y/) (5)
выполняется для всех векторов X и Y, всех чисел а и P и всех функций /, и, во-вторых, векторы (dldxi)p линейно независимы, потому что в противном случае должны существовать числа № (/ = 1, я), не все равные нулю, такие, что действие X = = Хідідхі на любую гладкую функцию должно давать тождественный нуль. Поэтому действие X на координатные функции xk (k = 1, п) приведет к уравнениям Xk = О для всех значений ky что, очевидно, неверно.
Наконец, действие X на произвольную гладкую функцию /, определяемое равенством
Xf-^Xi JL = л*}, і (6)
(где запятая перед нижним индексом означает частную производную по соответствующей координате), очевидным образом удовлетворяет правилу Лейбница:
x(fe)lMo = № + *xfl|M'>- (?)
Фактически касательные векторы могут рассматриваться как производные-по направлению.
Пространство касательных векторов (для которых принято также название контравариантные векторы) к ft-мерному многообразию M в точке р является ft-мерным векторным пространством. Это пространство, которое можно представить себе как множество всех «направлений» в точке р, называется касательным пространством в точке р\ для него принято обозначение Тр (M) или просто Тр.
Вместо базиса, задаваемого локальными координатами, — локального базиса, можно использовать любой другой набор п линейно независимых векторов еа (а = 1, ft). Поэтому должны существовать линейные соотношения вида
<. = <«+. (8)
причем детерминант матрицы CP^ не должен быть равен нулю. Обратные соотношения имеют вид
где [Ф/] — матрица, обратная матрице [Ф*]:
Ф*Ф« = б*, ф*ф» = б». (10)
20
Глава 1. Математический аппарат
Если задан базис (е7), то любой касательный вектор в точке р можно записать в виде
X^Xitj. (11)
Величины Xf называются компонентами X относительно базиса (еу).
б. 1-формы (ковекторы, или ковариантные векторы). 1-форма © (дифференциальная форма степени 1) в точке р есть линейное отображение касательного пространства Тр на множесто действительных чисел:
©: TP-+RK (12)
Другими словами, любому данному касательному вектору X в точке р 1-форма © сопоставляет однозначным образом число © (X), которое записывается также в виде
©(*) = <©, X). (13)
Требуемая линейность отображения выражается соотношением
<©, aX+?Y) = а(©, X) + ?(o>, Y), (14)
где XhY — произвольные касательные векторы, а а и ? — произвольные действительные числа. Определим далее умножение форм на действительные числа и сумму форм следующими правилами:
(a©) (X) = <*(©, X), (©-fji)(X) = (©, X)+ (я, X) (15)
для произвольного касательного вектора X ? Тр и произвольного действительного числа а, где © и л — две 1-формы. Если эти правила выполнены, то 1-формы образуют векторное пространство, которое будем обозначать Тр. Это векторное пространство называется касательным или дуальным касательному пространству в точке р (другие названия — пространство форм, сопряженное пространство). По этой причине 1-формы называются также ковекторами или ковариантными векторами.
Сопоставим базису (е7) в Tp 1-формы (e') (/ = 1, я), которые ставят в соответствие любому касательному вектору X = = Л7е7- его компоненты в базисе (е7-):
. е< (X) = (es Xiej) = Xі (/=1, .. ., п). (16)
Из последнего уравнения следует, что
е'(е,-) = <е', е,> о}. (17)
Произвольную 1-форму © можно записать как линейную комбинацию 1-форм е', заметив, что
(©, X) = (©, Х'е,) = Xі (©, е,>. (18)
Вводя обозначение
= (©, ej) = © (tt) (19)
2. Элементы дифференциальной геометрии
21
для чисел, которые 1-форма со сопоставляет базисным векторам (е^) касательного пространства Тр в точке /?, можно записать
(со, X) - щХ* = щ <е', Xitj) = (coyeS X). (20)
Поскольку последнее уравнение справедливо для любого X ? Тр, получаем
(о co^e''. (21)
Таким образом, доказано, что произвольная 1-форма со записывается в виде линейной комбинации форм е*. Линейная независимость ковекторов ес следует непосредственно из их определения. Следовательно, (е*) есть базис пространства Тр. Базисы (et) и (ес) называются дуальными базисами пространств Тр и Тр.
Если вместо дуальных базисов (е^) и (ei) выбрать другие базисы, связанные со старыми базисами невырожденными преобразованиями
е,, = Ф/,е/, e'" = ©jV (22)
и потребовать, чтобы новые базисы были дуальными, то получим
6{: = <е'\ er) = ФГФ?' <еУ, е*> = Ф^'Фги Ф{'Ф{,, (23)
другими словами, матрицы [Фг] и [Ф}'] должны быть взаимно обратными.
