Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
R(X, Y)(P ®Q) = R(X, Y)P®Q + P®R(X, Y)Q, (162)
где PhQ — произвольные тензорные поля. Теперь несложно найти правило, по которому R (X, Y) действует, например, на 1-форму Q. Действительно, если Z — произвольное контра-вариантное векторное поле, то из уравнения (162) следует, что
R(X, Y)(Q^O = [R(X, Y)Q],Z/+ Q,[R(X, Y)Z]/. (163)
Но отображение R (X, Y), действуя на скаляр, дает нуль (в силу уравнения (161)), поэтому
[R(X, Y)Q]7Z7' = -Q1R1UkZ1X1Y" = -Q1R1^Z1X1Y11. (164) Следовательно,
[R(X, Y)Q]7- = -R1^Q1X1Y11. (165)
С другой стороны, прямое вычисление действия R (X, Y) на Q в локальном координатном базисе (следуя процедуре, описанной при выводе уравнения (158)) дает
R (X, Y) Q = XlYk [Q/; kl - Q/; lk + T%Qh п) е7'. (166) Объединяя уравнения (165) и (166), получаем
Q/; kl — Q/; Ik = R1jklQi + TkiQj; м- (167)
Рассмотрим теперь действие отображения R (X, Y) на тензор типа (2, 0). Снова используем уравнения (161) и (162) и получим
R(X, Y)[S^e1 ®е,]-R(X, Y)S^e1 ®ег+е4® R(X, Y)S'/e,=
= (R1In1nS11 + Rjlm tS ') .We4- ® e/f (168)
40
Глава 1. Математический аппарат
откуда заключаем, что
S1JkI - S[1Ik - -R'mkiSr' - RJmkiSim + ntS\jn. (169)
Подобным же образом находим действие R (X, Y) на тензор типа (0, 2):
Si/; kl — Sij; Ik = RmjklSim RmiklSmj + TklSif- n- (170)
Теперь ясно, как записать соответствующие формулы для тензоров произвольного типа.
Если свернуть тензор Римана (154) по контравариантному индексу и второму (или третьему) из ковариантных индексов, то получим тензор Риччи (или соответственно тензор Риччи с обратным знаком):
R Ijtn= —R Im/ Rim- (171)
В локальном координатном базисе компоненты тензора Риччи равны (ср. с формулой (154))
Rim — Г/m, j — V{/t m -\- Гд-/Г*т — Г/гтГ?у (172)
а. Циклическое тождество и тождества Бианки в отсутствие кручения. Рассмотрим важный частный случай, когда кручение отсутствует. Тогда из определения кручения (уравнение (128)) следует
VxQ -+ V0X = [X, Q] (X, Q 6 То), (173)
вследствие чего тензор кривизны, как будет сейчас показано, удовлетворяет двум важным тождествам.
Убедимся прежде всего, что вследствие соотношения (173) справедливо равенство
Vx [Y, Z] + Vy [Z, X] + Vz [X, Y] = (VxVy - VyVx) Z f
+ (VzVx - VxVz) Y + (VyVz - VzVy) X. (174)
Отсюда получаем
R(X, Y)Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z) X = Vx [Y, Z]+VY[Z, X] +
+ Vz [X, Y] - V[x, y]Z - V[y, z]X - V[Z, x]Y. (175)
С другой стороны, если в уравнении (173) положить Q = [Y, Z], то
Vx [Y, Z] - V[y, z]X = [X, [Y, Z]]. (176)
Соответственно уравнение (175) вследствие тождества Якоби принимает вид
R(X, Y)Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X =
= [Х, [Y, Z]] -f- [Y, [Z, X]]+ [Z, [X, Y]] = 0. (177)
Соотношение (177), записанное в локальном координатном базисе, и есть искомое циклическое тождество:
R1^km + R1fkml + /?7«/* = 0. (178)
6. Метрика и метрическая связность
41
Рассмотрим далее внешнюю производную 2-формы Картана й{ (см. уравнение (149)). Имеем
dQ{ - dcoi Л o>* - <*}k Л do? =
= (й? - 0)4 Л «o?) Л - о)І Л (О? -®m Л О- (179) Нетрудно показать, что тройные внешние произведения 1-форм сокращаются, вследствие чего получаем соотношения
dQ{ - й? Л ^ + <о{ Л ?? 0> (180)
называемые тождествами Бианки. В стандартном виде тождества Бианки можно получить, записав уравнение (180) в локальном координатном базисе. Подставляя выражения для й{ и <о? в локальном координатном базисе
Q{ = wlpq dxp Л dx?, о)? = Тїг dxr (181)
в уравнение (180), получаем
(R!lpq, г - R1Hpa + TirRklpg) dx° Д d*" Д = 0. (182)
Поскольку в отсутствие кручения коэффициенты связности Yjkr симметричны по индексам k и г, равенство (182) эквивалентно следующему соотношению:
(&1рд, r-R'kpgTtr + TirR'ipv-R1\ a-R1Ipa) dxp Л dxq Л d/=0.
(183)
Но выражение в скобках есть не что иное, как ковариантная производная R1 ipq по xr, следовательно,
&1РЯ;г+&1<,г..р + &1гр;<,=0. (184)
Это и есть тождества Бианки в стандартной форме.
6. Метрика и метрическая связность. Риманова геометрия и уравнения Эйнштейна
Метрическим тензором g называется поле несингулярного симметричного тензора типа (0, 2). Это означает:
а) g: Tl X Tj
б) g(X, Y) = g(Y, X) для любых X, Y G Г?; (185)
в) если g(X, Y) = O для любого Y ? 71?, то Х=0.
Условие б) гарантирует симметричность тензора g, а условие в) — его несингулярность.
В локальном базисе метрический тензор имеет вид
g = ft>e'®e/, gij = gji. (186)
42
Глава 1. Математический аппарат
Если же локальный базис является координатным, то
g = gfjdxl ® их*, gij = gn. (187)
Условие несингулярности метрического тензора, записанного в компонентах, эквивалентно требованию, чтобы детерминант матрицы [gij] не обращался в нуль ни в одной точке многообразия. В этом случае матрица igtj] имеет однозначно определяемую обратную матрицу. Обозначая элементы обратной матрицы gci, имеем
g(lgik = Sj/, (188)
последнее равенство гарантирует, что g{i можно рассматривать как компоненты тензорного поля g-1 типа (2, 0), представление которого в базисе Є; ® еу- (дуальном базису, использованному в уравнении (186)) имеет вид
