Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
14. Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки А и В — точки касания). Найдите расстояние между точками А и В.
15. Две окружности пересекаются в точках А и Б. Через точку А проведены диаметры АС и АО этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если ВТ) - 7, ВС =13.
6
Математика в школе 5/2011
Ответы.
11) 8 или 15 (рис 11);
С
А
12) 6л/б или 12 (рис 12);
Рис 12
13) а) 18 или 12 (рис 13а); б) 21 или 14, или 210-84>Уб (рис 136);
Рис 136
Рис 14
15) 10 или 3 (рис 15).
Рис 15
Комбинации фигур
16. Ромб вписан в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 так, что одна из его вершин совпадает с вершиной острого угла треугольника, а три другие лежат на сторонах треугольника. Найдите площадь ромба.
17. В окружность радиуса 2л/б вписана трапеция с основаниями 8 и 2>/ГТ. Найдите длину диагонали трапеции.
18. В трапеции длины боковых сторон равны 16 и 12, а длины оснований 30 и 10. Найдите радиус окружности, касающейся меньшего основания трапеции и прямых, содержащих ее боковые стороны.
19. Окружность с диаметром, равным
>/Го, проходит через соседние вершины А и В прямоугольника АВСБ. Длина касательной, проведенной к окружности из точки С, равна 3. Найдите длину стороны Б С, если известно, что АВ = 1.
20. В равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 10
Консультация
7
вписана окружность. Вторая окружность касается двух сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности. Ответы.
1ЛЧ 45 80
16) — или — (рис 16);
3 3
Рис 16
17) 2л/7 + 2л/ГТ (рис 17);
или
2л/13 + 2л/ГТ
Рис 17
18) 2 или 12 (рис 18);
Рис 18
1СЛ 3(л/5+1) 3(У5-1) , 1Q4 19) —1-- или —--- (рис 19);
Рис 19
20) 0,75 или 3(3 ^ (рис 20).
Рис 20
Внимание, конкурс!
Журнал «Математика в школе» продолжает открытый конкурс под названием «Мой первый урок» для молодых учителей математики (до 35 лет включительно). На конкурс представляется описание одного урока (5-11 кл.) на произвольную тему и в произвольной форме: в виде сценария, конспекта и т.д. Итоги предыдущего конкурса будут подведены в № 6 журнала.
Работы можно присылать до 1 мая 2012 года на электронный или почтовый адрес редакции (e-mail: mathematics@schoolpress.ru, 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3) с пометкой «Мой первый урок». Победители получат призы и памятные дипломы, которые украсят ваше портфолио. Лучшие работы будут опубликованы.
8
Математика в школе 5 / 2011
КОМБИНАТОРИКА.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СТАТИСТИКИ
В.А. Булычев Е.А. Бунимович
КГУ им. КЗ. Циолковского (Калуга) редакция журнала «Математика в школе» e-mail: bul@kaluga.ru e-mail: matematika@schoolpress.ru
В настоящее время в школьный курс математики введены основы теории вероятностей и математической статистики. Соответствующие задания уже используются при проведении государственной итоговой аттестации в 9-м классе. В этой статье рассматриваются основное содержание и наиболее важные методические аспекты изучения раздела «Комбинаторика»: приведены краткие теоретические сведения, сформулированы знания и умения, которыми должен обладать школьник, рассмотрены задания базового и повышенного уровней.
Ключевые слова: комбинаторика, подсчет комбинаций, комбинаторные правила, теория вероятностей.
Комбинаторика
Комбинаторика изучает различные виды комбинаций, способы их перечисления и подсчета. Само слово комбинация происходит от латинского сотЫпо -соединяю. Действительно, при получении любой комбинации мы составляем ее из отдельных элементов, последовательно соединяя их друг с другом. Чаще всего эти элементы выбираются из некоторого конечного множества.
В результате изучения этой темы школьник должен знать и уметь:
• решать комбинаторные задачи на нахождение числа объектов или комбинаций, применяя прием полного перебора вариантов и комбинаторное правило умножения;
• распознавать задачи на определение числа перестановок и выполнять соответствующие вычисления. Комбинаторные задачи могут встречаться как «в чистом виде», так и в задачах, которые возникают в алгебре, геометрии, теории вероятностей и других разделах математики.
Чтобы научиться решать комбинаторные задачи, нужно овладеть следующими навыками:
• перечислять (перебирать, выписывать) заданные в задаче комбинации, используя для этого определенную систему;
• подсчитывать количество комбинаций, используя для этого специальные комбинаторные правила (правило умножения, правило сложения и др.).
Перечисление комбинаций
Любое натуральное число можно рассматривать как комбинацию из цифр.
Пример 1. Перечислим все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2:
10, 11, 12, 20, 21, 22.
Легко понять, что других комбинаций нет: искомые двузначные числа могут начинаться на 1 (таких чисел три - 10, 11, 12) или на 2 (их тоже три - 20, 21, 22).
Еще один знакомый вам пример комбинаций - слова, которые составляют из букв. Только в комбинаторике, в отличие
Консультация
