Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Движения на сфере. Аналогично § 3 построим бифуркационные диаграммы для сферы, а также графики параметров абсолютного § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 299
движения, используя при малых D соответствующие зависимости для плоскости и пользуясь методом продолжения по параметру.
Геометрическая интерпретация для движения по сфере приведена па рис. 45.
Рис. 45. Геометрическая интерпретация для сферы при различных значениях параметров A, S, D. Темным цветом обозначена область положительных значений Mk ^ 0, для которой Д2 > 0.
Случай А < 0 и S > 0. Кроме томсоновской и коллинеарной конфигураций, имеющихся в плоском случае, при D > 0 здесь возникают еще две коллинеарные конфигурации, появляющиеся из задачи двух вихрей (рис. 44, а). При продолжении по моменту одна из них сливается сначала с томсоновской, которая исчезает при значении dm, а затем с коллинеарной конфигурацией, имеющей аналог па плоскости, после чего также исчезает. При D > и D < стационарных конфигураций не существует. Томсоновские конфигурация в данном случае всегда неустойчивы (рис. 46,а), а коллинеарные конфигурации — устойчивы.
Случай А < 0 и S < 0. Здесь происходит слияние томсоновской 300
Глава Ji
и одной из коллинеарных (наиболее близких к томсоновской по энергии) конфигураций (рис. 44, Ь). Кроме того, возникают коллинеарные конфигурации из задачи двух вихрей (для одной из них E —> сю при совпадении вихрей из-за наличия одной отрицательной интенсивности). Одна из них продолжается в область положительных значений D. Томсоновская конфигурация, как и в плоском случае, устойчива в линейном приближении (рис. 46, Ь). Устойчивыми являются и некоторые из коллинеарных конфигураций. Одна из них становится устойчивой при слиянии с томсоновской, а другая — теряет устойчивость при слиянии с неустойчивой коллинеарной конфигурацией.
Случай А < 0 и S = 0. Вместо одной коллинеарной конфигурации в случае плоскости при отрицательных значениях D, в данном случае возникает три различных ветви коллинеарных конфигураций, причем две из них существуют также при D > 0 (см. рис. 44, с). Решение с более высокой энергией неустойчиво при D > 0, с более низкой — устойчиво. При D < 0 — ситуация обратная. Как и на плоскости, томсоновские решения присутствуют лишь при D = 0. В этом случае все траектории являются коллапсирующими (рис. 45, h).
Наконец, при условии A = O, бифуркационная диаграмма приведена на рис. 44, (1. Как и в плоском случае, стационарные решения существуют только при D > 0, (рис. 45,j-l). Отличие состоит в появлении коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей. Одна из таких конфигураций сливается с томсоновской, после чего они обе изчезают. Все коллинеарные решения устойчивы, а томсоновское — неустойчиво (рис. 46, d).
Зависимость угловой скорости вращения для перечисленных ситуаций представлена на рис. 47. Как и в компактном случае происходит резкое увеличении частоты вращения при возникновении третьего вихря из задачи двух вихрей.
Изучение динамики угла наклона оси вращения к плоскости вихрей показывает, что в первых двух перечисленных случаях происходит постепенное изменение угла наклона оси от нуля до я"/2, в результате чего ось вращения стремится занять положение в плоскости вихрей и соответствующая томсоновская конфигурация переходит в коллинеар-ную (рис. 48).
3. Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере. Рассмотрим условия возникновения коллапса трех вихрей на плоскости и сфере. Известно, что коллапс невозможен для взятой отдельно любой из пар § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
301
b) А < 0 и 5 < 0; с) і < 0 и 5 = 0; d) Л = 0 и 5 > 0.
вихрей, поскольку при сближении такой пары влияние третьего (удаленного) вихря пренебрежимо мало, а два вихря па плоскости (сфере) двигаются относительно друг друга так, что расстояние между ними сохраняется. Необходимым условием коллапса является выполнение D = 0, так как при этом все Mk = 0. Условие D = 0 позволяет перейти от четырехмерной алгебры Ли к трехмерной при этом реальная динамика происходит па сингулярном симплектическом листе, причем нетривиальный сингулярный симплектический лист (поверхность конуса) будет соответствовать только алгебре so(2,l). Аналогичные утверждения справедливы и для одновременного коллапса п вихрей, который почти не изучен (исключая случаи п = 4, 5) [128].
Условия коллапса вихрей на сфере, очевидно, будут совпадать с условиями для плоскости, так как на малых расстояниях влияние кривизны на динамику вихрей несущественно.
Замечание 1. Проблема коллапса является одной из наиболее интересных 302
Глава Ji
S < 0; с) А < 0 и S = 0: d) А = О и S > 0.
проблем, связанных с вихрями и представляет большой интерес для теоретической гидромеханики как одна из моделей, на которой может быть понят сценарий перехода к турбулентности, заключенный в неединственности решений гидродинамических уравнений Эйлера. Действительно, теоремы существования и единственности для этих уравнений доказаны в предположении достаточной гладкости первоначального поля скоростей. С математической точки зрения процесс коллапса вихрей, представляющий собой слияние особых решений уравнения Эйлера типа й-функции, при обращении времени будет определять распад вихрей с соответствующей потерей единственности. Поэтому большой интерес представляет изучение этой проблемы с точки зрения регуляризации столкновений аналогично тому, как это делается в классической небесной механике [4]. Для физики атмосферы явление коллапса может рассматриваться как модель формирования крупных атмосферных вихрей.
