Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
H = Ml + Ml + a,My +U(J3),
а соответствующую метрику на S2
ds2 = h-Ujq3) dq2 + dqj + ad(j
U qI + 4 + а"1 «з '
Поскольку кинетическая и потенциальная энергия инвариантны относительно вращений вокруг оси OZ, в данном случае получается семейство осссиммстричиых метрик двумерной сферы.
Дополнительный первый интеграл в данном случае (интеграл Лагранжа)
F = M3. § 7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере
143
1.3. Случай Клебша.
В случае Клебша гамильтониан является диагональной квадратичной формой на алгебре е(3)
H = U1 М\ + Ci2Ml + азM3 - ((I^1Ti + а2 41 + «з~ 4з) > он порождает метрику
2 _ h + a^qf + U21Q2 + Ci31Ql aidql + a2d,q2 + a3dq^
ds
ага2а3 a^q2 + a,1 q2 + U31Q23
Второй интеграл геодезического потока, порожденного данной метрикой равен
F = CL1Mf + a2Ml + а3М3 +
(CL1Q1 + a2ql + a3q2) «і M12 + а2М\ + H3M32 + ^a2O3 h+O-1Qj+a^ql+a-'qr
Как показано в работе [78], при h = 0 случай Клебша и соответствующий геодезический поток траєкторно эквивалентны геодезическому потоку стандартной римановой метрики на эллипсоиде в евклидовом пространстве, заданном уравнением
X2 у2 Z2
--Ь —I--= 1.
ai аг а з
1.4. Случай Горячева—Чаплыгина. Геодезический поток с кубическим дополнительным интегралом.
Случай Горячева Чаплыгина является случаем частной интегрируемости па алгебре е(3) па пулевой константе одной из функций Казимира (М, 7) = 0. Как было показано выше, этого достаточно, чтобы ему соответствовал интегрируемый геодезический поток на S2.
Гамильтониан и порождаемая им метрика имеют вид
H = Ml+ M22 + 4M2 + 71, dtp = h - гл dq\ + dql + Adq\ 4 ЧІ + <& + 1?2 144 Глава 2
Дополнительный интеграл является кубическим по импульсам и дается выражением
F = M3 (M12 + M22) - /fMl {Ml + M22 + 4М32) . 2(h — qi)
1.5. Случай Ковалевской.
Гамильтониан и метрику интегрируемого случая Ковалевской уравнений Эйлера—Пуассона можно представить в виде
H =
ds2 =
і (M12 + M2 + 2M32) + 71, Ih-дг dq\ + dql + 2dq\
2 2 о о 1 о
Ql + ?2 + § 7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере
145
Второй интеграл в данном случае имеет четвертую степень по импульсам
2
/ - , M12 + M22 + 2 Mo2 , F= M12 - M2 - gi 1 2 -^ +
+ 2МуМ2 - q2
2{h-qi) M12 + Mf + 2 Mf'
2 (ft - Q1)
Траєкторная неэквивалентность и несводимость к интегралам более низкой степени для вышеприведенных случаев обсуждается в работе [21].
1.6. Случай Чаплыгина (обобщенный случай Ковалевской). Менее известным случаем частной интегрируемости ((М, 7) = 0) для уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени является случай Чаплыгина, который как было показано выше при F2 = О изоморфен обобщенному случаю Ковалевской [32].
Гамильтониан в этом случае дается выражением (6.1), с помощью пего получается следующее семейство метрик
ds2 = I h - (є/2) (g2 - gl) dq\ + dg2 + 2dg2 2 2 ?12+?2+?2/2'
Это интегрируемое семейство имеет интеграл четвертой степени по импульсам
~ ( M2 + M2 + 2M2 \2
K = M12 - Ml--—Щ:-TTlCsI + IM12M22. (7.11)
V 2 h-c{q2-q2) 3J
Замечание 1. Траєкторная и топологическая неэквивалентность метрики (7.10) метрике обычного случая Ковалевской показана в [301] (см. также приложение F).
Замечание 2. С. А. Чаплыгиным в [163] было показано, что при (М,7) = О интегрируется система с потенциалом равным линейной комбинации потенциалов случая Чаплыгина и случая Ковалевской (см. также замечание 5 §6):
н = \ (M12 + Ml + 2 M32) + «71 + Ь (712 - 7!) , a,be R.
При этом на сфере S2 возникает семейство интегрируемых геодезических потоков, определяемых параметрами а, Ь. Было бы интересно изучить 146
Глава 2
топологию и перестройки соответствующих поверхностей уровня первых интегралов H и F
і 2
F =
(M12 - Mf + &7з - a7i)2 + 4 (M1M2 - |72)"
2. Геодезические потоки на 53. Рассмотрим обобщение приведенной конструкции на случай трехмерной сферы стандартно вложенной в I4: 53 = {g: + qf + q2 + q\ = l} (см. § 6 и приложение D).
Зададим отображение Т*Ж3 на сингулярную орбиту W2 = 0 алгебры е(4), гомеоморфпую T*S3 формулами:
7г = QrOP - Poq, L = q X р. (7.12)
Как было показано в § 6 геодезический поток метрики эллипсоида Ij = I (q, Bq), где В = diag(&o, b±, b2, b3) приводится с помощью (7.12) к интегрируемой системе на е(4) с гамильтонианом
H = 2 * (b01K1V21 + b01ь2\2 + ь0Ч3\1 +
+ B-1Ii-1L21 + B1H-1L2 + h^b^L2).
Обратное также справедливо. Если выбрать на е(4) интегрируемую систему с гамильтонианом «четырехмерного» случая Клебша.
H = Ь^Ь^ж2 + Ьй%\2 + Ь^Ь^ж2 +
+ K1K1L21 + K1K1L2 + K1B-1Ll - (?, B-1Qr) ,
то из формул (7.12), (7.2), (7.3) можно получить семейство интегрируемых метрик на сфере S3:
2 /,+ (q.B-'q) JU
Пусть H = і (M1AM) + U (q). Чтобы найти метрику в E4 (в которое вложена S3) необходимо сделать преобразование Лежандра
дн
W = П-» ІГ
OM
L(w,q) = (ш,М) - HI
§ 7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере 147
Используя принцип Мопертюи получим лагранжеву систему, описывающую геодезический поток па S3
