Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Алгебра интегралов
Первые интегралы гамильтоновой системы могут рассматриваться как функции на «пространстве орбит» этой системы. На этом пространстве возникает естественная пуассонова структура, введенная еще К.Якоби ([170], гл. 1). Действительно, скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл [2, 154]. Следовательно, исходная пуассонова (например, симплектическая) структура па фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По методу Якоби необходимо выбрать пару первых интегралов системы и каждый раз добавлять их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге получаются функционально зависимые интегралы. Из этого набора интегралов следует выбрать максимальное множество функционально независимых интегралов, определяющих координаты на пространстве орбит. Все остальные интегралы (и их скобки Пуассона) будут являться функциями выбранных. В качестве примера Якоби рассмотрел скобки Пуассона первых интегралов, образую- 34
Глава 1
щих алгебру Ли группы вращений (,so(3)) и группы движений евклидова пространства (е(3)).
В этом разделе мы приведем наиболее известные результаты о связи между существованием достаточно большого числа первых интегралов гамильтоновых систем и ее интегрируемостью в квадратурах. Более полное представление о механизмах интегрируемости гамильтоновых систем можно получить в [91, 152, 156].
Теорема 2 ([76]). Пусть К2™ фазовое пространство гамильтоновой системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом Н(p,q). Предположим, что эта система имеет п интегралов движения Fi,... ,Fn, таких, что
[Fi, Fj) = CkijFk, Ckij = const.
Если
1. на множестве
= {(p,q)GK2n:F:(p,q) = fl4 функции Fi,... , Fn независимы;
2. алгебра JIu со структурными константами Cij разрешима;
3. C^ak = 0 для всех г, j, = 1,... , п,
то решения уравнений Гамильтона, лежащие на Ma, можно найти в квадратурах.
Более точную информацию об устройстве интегрируемых систем дает геометрический вариант теоремы Лиувиллл (Лиувиллл— Арнольда) [2]. Мы здесь сформулируем более общий результат справедливый также для задач гамильтоновой механики, в которых количество известных интегралов превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют друг с другом. Условия интегрируемости таких систем с «избыточным» набором интегралов указаны в работах [119, 124]. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплекти-ческом многообразии M2n имеет п + к интегралов Fi, F2, ¦.. , Fn+k, причем на поверхности Mc = {х Є M2n: Fi (х) = с», 1 ^ г ^ п + к} § 4- Представление Лакса—Гейзенберга
35
эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона ||{_Fj,_F,-}||. Тогда, если поверхность Mc связна и компактна и ранг матрицы скобок Пуассона не превосходит 2к, то поверхность Mc диффеоморфна (п —к)—мерному тору и на ней можно выбрать угловые переменные ^i,... ,(рп-к mod 2тт так, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид ф3 = = const, (1 s п — к).
Из этой теоремы при к = 0 и при условии инволютивности интегралов Fi,.. .Fn получается обычная теорема Лиувилля—Арнольда, при этом фазовое пространство в компактном и связном случаях расслоено на n-мерные торы, несущие квазипериодические потоки, а в их окрестности существует такая каноническая система переменных Ii,... ,In, ipi,... ,<рп (переменные действие угол), в которых гамильтонова система имеет вид
L1 = 0, фі = ш(Іі,... ,In), і = I,... ,п.
При к = п — 2 получается геометрический вариант теоремы Эйлера— Якоби — сохранение инвариантной меры следует из теоремы Лиувилля для гамильтоновых систем [4, 79] (см. также приложение В).
Обобщение этих теорем па случай вырожденных скобок Пуассона очевидно — надо только рассматривать ограничение системы на сим-плектический лист и использовать приведенные выше утверждения. В дальнейшем нами будут приведены примеры гамильтоновых систем, обладающих как коммутативным, так и некоммутативным полным набором интегралов, а также системы — алгебра скобок Пуассона интегралов которых нелинейна.
Вопросы, связанные с конструктивным введением переменных действие—угол для интегрируемых систем, затронуты в приложении С.
§ 4. Представление Лакса—Гейзенберга
1. Определение. Полупростые алгебры Ли. Уравнения многих динамических систем могут быть представлены в матричной коммутационной форме. Такое представление в неявном виде использовались еще в прошлом столетии (например, Кеттером [267]). Впоследствии оно обрело современную форму в квантовой механике в связи с матричным подходом Гейзенберга. 36
Глава 1
Определение. Представлениелі JIanca—Гейзенберга системы дифференциальных уравнений
x = v(x), X Є Mn (4.1)
называется пара квадратных матриц LhA, удовлетворяющих следующим условиям:
1. элементы матриц LnA — гладкие, в общем случае, комплекс-нозначные функции х;
2. выполнено тождество
L = [A,L], (4.2)
где элементы матрицы L — суть производные от элементов L в силу системы (4.1), причем [A, L] = AL — LA.
