Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Si =S Cj (9 г*+ S1W. (3-2)
3=1
где Q} (t) — компоненты ортогональной матрицы Q (t). По определению ньютоновского гравитационного потенциала сила /, действующая на частицу массы m в поле с потенциалом ф (3.1), равна — wigrac^.
Функция Лагранжа твердого тела T в неподвижной системе отсчета F является интегралом по объему тела T от функций Лагранжа составляющих его точек:
3 / 3 \ 2
L = 4Jp(r)2 + л d3г-
т і—і \j=i J
(з з 3 \
S Q)r} + q\ 2 Qjrs + q2, 2 Qlr3 + q3 d3г,
3=1 і = і j=i /
(3.3)
где р (г) — плотность массы твердого тела. В силу определения тензора Iih и определения центра масс твердого тела справедливы формулы
J р (г) rV>r = 1 Tr (/) Sij -Iij=Jij, Г р (г) /d*г = 0. (3.4)
т І
Выражение (3.3) после подстановки формулы (3.1) п интегрирования по объему тела в силу формул (3.4)
237 принимает вид
з з
L = "2 т № Ч) + 2" 2 Gij^k + ф (ч)— у 2 aIjQaQlja?'
(3.5)
где т — полная масса твердого тела Т. Второе слагае-
• »
мое в формуле (3.5) имеет вид Tr (QJQt). Используя формулы Qt = Q~l, = —Q~1QQ~1, получаем
Tr(QJQt)=-Tv(JQ-^QQ-lQ). (3.6)
Из выражения (3.5) следует, что переменные ql и Qk в лагранжиане L разделяются. Это важное свойство характерно только для ньютоновского гравитационного потенциала и является следствием равенства инертной и гравитационной масс. Динамика центра масс О (переменные q') описывается лагранжевой системой в евклидовом пространстве Л3 с лагранжианом
з
Li = ~2 т (Ч> Ч) — ~2 2 (aHlW + bW)- (3-7)
».3=1
Вращение твердого тела относительно центра масс О описывается лагранжевой системой на группе Ли SO (3) с лагранжианом
з
L2 = - 1 Tr (JQ-1QQ-1Q) + у2 OiiQ'aQk*»- (3.8)
i,j,a,?
При этом L = L1 + L2 — "4 Tr a • Tr/.
Лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану Lі (3.7), являются линейными, распадаются на три лагранжевых уравнения с одной степенью свободы и интегрируются в элементарных функциях.
Лагранжиан L2 (3.8) описывает также вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (которая может не совпадать с центром масс) в ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом
з
ФоИ = 4 2 aHx*я1 • (3-9)
" *,j=l
Матрица со угловой скорости твердого тела, отнесенная к системе отсчета S, определяется формулой а> = Q-1Q. 238 Матдица кинетического момента M в системе S имеет компоненты Мц = Iк®ц, i, j, к = 1, 2, 3. Уравнения Эйлера вращения твердого тела, эквивалентные лагранже-вои системе с лагранжианом L2 (3.8), имеют вид
Й = [М, о]+ Ж, Q = Qat (3.10)
где К — кососимметрическая матрица моментов сил, действующих на твердое тело, имеющая компоненты
Потенциальная функция U (Q) в силу (3.8) определяется формулой
U(Q) = -^Tv(IQtaQ). (3.12)
Матрица К в силу выражений (3.11), (3.12) имеет вид К = IQiaQ- QtaQI = - [и, /], U = QiaQ. (3.13)
Симметрическая матрица и = QtaQ определяет вид потенциала (3.9) во вращающейся системе отсчета S. Матрицы и и а подобны, их собственные числа Xi (и) и Xi(a) совпадают.
Уравнения (3.10) в силу формул (3.13) отображаются в систему уравнений
Й = [М, <а] —[и, /], и = [и, со], (3.14)
совпадающую с системой (2.6). Уравнения (3.14) на инвариантном подмногообразии M6, определенном условиями Xi(u) = Xi(a), эквивалентны лагранжевой системе на группе Ли SO(3) с лагранжианом (3.8). Из теоремы 1 (§ 2) следует, что система (2.6), (3.14) на симплектиче-ских подмногообразиях M6 вполне интегрируема по Лиувиллю. Следовательно, это же справедливо и для лагранжевой системы с лагранжианом L2 (3.8),
Доказательство интегрируемости системы (2.6), (3.14) в тэта-функциях Римана будет дано ниже в § 4.
II. Укажем еще один вывод системы (3.14), использующий векторную форму уравнений Эйлера (3.10). Выберем орты а, ?, у неподвижной системы отсчета F совпадающими с главными осями квадратичной формы (3.9); после такого, преобразования имеем 2ф(ж) = = <zi(х1)2 + аг(х2)2 + аг(хэ)2. Далее все векторы а, ?, f, M, to представлены во вращающейся системе отсчета S,
239 жестко связанной с твердым телом Т, в которой тензор инерции диагонален, Iih = ISik. Потенциальная энергия твердого тела в ньютоновском гравитационном ноле в силу формул (3.4) имеет вид
U (а, ?, у) = f р (г) ф ((г, а), (г, ?), (г, у)) dr1 dr2 dr3 = т
= CZ0-I (Z1^+ Isal+ Isat)-±a2{l$l + I?l+I?l)-
-J "з (Лїї + ^vS +(3.15)
где U<3 = {ai+a2 + а3) {Ii+ h + h)!i.
Уравнения вращения твердого тела T в ньютоновском поле с потенциалом ф (ж1, х2, хг) в системе отсчета S имеют вид
M - M X ® + (Si) X « + (?) X ? + (g) X V'(3,16)
а = аХо, ? = ? X ft), Y = Yxw-
Уравнения (3.16) после подстановки формул (3.15) и применения отображения (2.3) принимают вид
Й = [М, со] + а, [а, Ca + а С] + а2 [?, C? + ?C] +
+ аз[ї, C1+ чС], (3.17)
а.= [а, «], ? = [?, со], Y = I1Y.
где матрица С имеет компоненты Cij =(2-1 (/j + I2 + /3) — — Ii) 8ц, Mij = Ihсо« (і, /, Ar = 1, 2, 3). В силу уравнений (3.17) имеем
(а2)' = [а2, со], (?2)'= [?2, со], (у2) = [у2, со]. (3.18)
Введем симметрическую матрицу и = а\а2 + а2$2 + + йзЧ2. Из уравнений (3.17), (3.18) в силу тождеств
