Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
З 1
vx + аих + -j ахихх + у ? = О,
1 3
и-ж + 7Г Vxx + CiUxx + -J CtXUxxx = О,
z 4 (3,3)
utx = у (6илихх — ихххх) + а {игх — иххх) + ?ux —
а
2~ ^uxxxx Uuxx її X X •
Из первых двух уравнений (3.3) находим
і 3 1 13
V=—j-au—ссхих — у ?x, W = -^aux — -^axuxx. (3.4)
Третье уравнение (3.3) принимает вид Uix = у (GUxUxx — ихххх) + аи% + ?ux —
1 11
— -g aXuxxx — у Ouxxx + -J ихх (Saxux + au + 2?z). (3.5)
Новое дифференциальное уравнение (3.5) эквивалентно операторному уравнению (3.1), (3.2), (3.4) и при а = 0, ? = О, 4=^0 переходит в уравнение Кортевега — де Фриза.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение (3.5) имеет следующее точное решение — солитон
u(t, x) = -2X(t)th(X(t)x-y(t)), (3.6)
где X (Z) и cp(Z) — произвольные функции времени, удовлетворяющие уравнениям
A=-ycd3 + у ?A, ф = ^yXz. (3.7)
Из вида производной
ux(t, х)= —2X2(t)ch~2(X(t)x — <p(Z)) (3.8)
следует, что солитон (3.6), (3.8) движется ПО ОСИ X с переменной скоростью, изменяя при этом свою «ширину» и «глубину». Только в единственном случае X(t)=a1/2, o = ?/a>0 солитон (3.6), (3.8) движется без изменения своей формы.
20 II. Уравнение (3.5) может быть решено методом обратной задачи рассеяния, однако применение этого метода здесь является весьма нестандартным. Выведем уравнения для данных рассеяния, полагая, что функция u(t, х) имеет следующую асимптотику при
ж-—«,: u(t, х)-+g{t),
X +00: U(t, x)-*h(t). {l '
Для таких функций имеем ux(t, ж)->0 при \х\ -»-<».
Пусть "ф„ (?, х) — собственная функция оператора Шрё-дингера, отвечающего собственному числу '/„, и, следовательно, удовлетворяющая условиям
~ 2 Ь" — fntym fn = Xn, Xn > О,
дх
¦ф™ (f, ж) = ехр(Я„ж) (1 + 0(1)), х-+—°°,
(3.10)
•ф™(f, х)= bn(t)exp(-hnx) (1 + 0(1)), X -*¦ +со.
Так же как и в § 1, доказывается, что собственные числа fn в силу уравнения (3.1) удовлетворяют уравнению вида (1.5):
fn = a/n + ?/n- (3.11)
Отсюда находим
/„ = ? (с„ ехр (—??) — a)(3.12)
Функции
F (/i, fn) = (а/і + ?) (а/n + ?)_1/nA_1 (3.13)
являются первыми интегралами уравнения (3.5). В силу уравнения (3.11) справедливо уравнение
Хп+±аХ3п-±$Хп = 0. (3.14)
Продифференцируем равенство Ll|)n = ZnlJjn по времени и используем уравнение (3.1); получим
L (ij)n + AiJjn) = {fn - afl - ?/n) tj3n + fn (tj)n + AtJ)„). (3.15)
Из асимптотики (3.10) и формул (3.2), (3.4) получаем асимптотику при х —
•фп + Ат|)п =
= ^Xn + Y a^n — у P^n) х + — «A.ng'j ехр (Я„.г) X
Х(1 + о(1)). (3.16) 21 В силу уравнений (3.15), (3.11) функция f„ + Ai|)„ является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу /„. Поэтому из асимптотики (3.16) и уравнения (3.14) следует равенство
¦фи + AtJj71 — akngj (3.17)
Подставляя это равенство в асимптотику (3.10) при х ->-+оо и снова используя уравнение (3.14), получаем уравнение
к = (Syll - і OlX71 (g + h)\ bn, (3.18)
определяющее динамику коэффициента bn(t).
III. Спектральные функции і|)(?, t, х) оператора L удовлетворяют условиям
— + = й>0, (3.19)
дх
?(?, t, х) = ехр(—ікх) + о(1), X -OOj
t, х) = а(к, t)exp(—ikx)+b(k, t)exp(ikx) + о(1),
X -*¦ +оо.
В дальнейшем мы полагаем, что спектральный параметр к зависит от времени в силу уравнения
к( = 1 ак3 + 1 ?k. (3.20)
Продифференцируем уравнение
Li|) = (3.21)
по времени и используем равенства (3.1), (3.20). Получим
+ Aty)= k2(tyt + А"ф). (3.22)
В асимптотике (3.19) при находим
IjJi + A^ =
= ix Ikt —jaк3 —y?ftj + 4yik3 + aikg^j ехр (—ікх) X
X(1+ 0(1)). (3.23)
Поэтому из равенств (3.22), (3.23) и уравнения (3.20) 22 следует равенство
tyt + Аф = (Ayik3 + -J ccifcgj (3.24)
Подставляя в (3.24) асимптотику (3.19) при х -»- +<», получаем линейные уравнения в частных производных для функций а(к, t), b(k, t)
at + «ft (у ак3 + j ?ftj = -J aIk (g — h) а, (3.25)
bt + bh а к3 + 1 ?uj = ^87?3 + -і аі* (g + h)J Ъ. (3.26)
Уравнения (3.11), (3.18), (3.25), (3.26) определяют эволюцию данных рассеяния, отвечающую уравнению (3.5). Однако асимптотические характеристики решения g(t) и h(t) (3.9) здесь остаются не определенными. Их можно точно определить в случае солитонных решений (см. ниже).
IV Потенциал ux(t, х) определяется по данным рассеяния следующими формулами [5]:
Ux(X)=- (3.27)
OO
К (х, X1) + F (х + X1) + J К (х, z)F(z + X1) dz = 0, (3.28)
X
N 00
П = 1 4 'Ч —оо
в которые переменная t вхоїдит в виде параметра. Из уравнения (3.27) получаем формулу
u(t, х) = -2К(х, х, t)+G(t), (3.29)
где G (?)— произвольная функция, выбор которой опреде» ляет асимптотические характеристики решения g(t) и h(t).
Построим точные Ж-солитонные решения уравнения (3.5). Пусть функция b(k, ?) = 0. Тогда функция a(k, t) определяется уравнением
«<М)-Й4т1Г-- (3-30)
Подставим эту формулу в уравнение (3.25) и учтем уравнения (3.14). После простых преобразований получим
23 равенство
N
g _ h = 4 2 An. (3.31)
Jl= 1
Определим функции
