Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Ui -L иу — 2ии'" —Au'и" + 6U2U. (5.13)
1 О
Это уравнение представляется в виде
Ut1 = 10/, = (и")2 - 5U2U" + 5м4 (5.14)
и поэтому совпадает со «вторым» уравнением КдФ (см., например, [5]). Таким образом, доказано следующее
Утверждение 2. Бесконечная система уравнений (5.11) допускает представление Лакса со спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ, если ?h^ l2?2, и «второе» уравнение КдФ (5.14), если ?i = 12?2.
Замечание 1. В утверждении 2 существенно используется то нетривиальное обстоятельство, что в разложении (5.12) произвольные постоянные ?i и ?2 входят в коэффициент при є3 в виде общего множителя ?i — — 12?2. Вероятно, утверждение 2 справедливо также и для всех динамических систем (5.8) при к = 2, р > 2 и соответствующем специальном соотношении между коэффициентами ?i и i?2. Возіможно, что и все высшие уравнения КдФ имеют интегрируемые дискретизации вида (5.3) и (5.8) при некоторых специальных соотношениях между коэффициентами i?b ?2, ..., ?„.
124 § 6. Общие конструкции интегрируемых дискретизаций уравнения КдФ
I. В данном параграфе мы покажем, что динамические системы (1.3) и (3.1) являются специальными случаями некоторых общих динамических систем, которые также допускают представление Лакса и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега — де Фриза. Предварительно выясним, к каким динамическим системам (с точностью до эквивалентности) приводят уравнения Лакса вида
L = [L, A], L = + JcEl А = хЕІ + уЕ% (6.1)
с произвольным спектральным параметром Eо, где матрицы а "и к функционально независимы, а, ?, б — произвольные действительные числа. Покажем, что нетривиальные уравнения Лакса (6.1) эквивалентны трем различным случаям, определенным условиями (а, ?) = = (0, 1) и (у, 6)=(0, 1), (—1, -2), (1, -1). Умножим оператор L на E0~™ и перейдем к параметру E = Е0~а\ тогда (ai, ? 1) = (0, 1). Если из трех пар чисел (0, 1), (Ti, ifi+ 1), (oi, 61 + 1) некоторая пара не пересекается ни с одной другой, то из уравнения (6.1) следует либо тривиальная !динамика (й = 0, Jh = O), либо функциональная зависимость матриц а и к (если, например, из (6.1) следует, что [а, х\ = 0, [7с, х] = 0). Поэтому нетривиальные уравнения (6.1) соответствуют следующим значениям пар (Yi, S1): 4) (1, -1), 2) (0, 1); 3) (0, -4);
4) (1, 2); 5) (-1, -2). Случаи 2) и 3), а также 4) и
5) эквивалентны после умножения оператора L на Ec и перемены местами матриц а ж к.
Окончательно получаем следующие уравнения:
(УV бх) = (1, - 1); (а + кЕ) = [а + кЕ, хЕ + уE'1],
(6.2)
(Tl, Si) = (0, 1); (а + кЕ) = [а + кЕ, х + уЕ],
(6.3)
(Yi. б,) = (- 1, - 2); (а + кЕ) = [а + кЕ, хЕ~х + уЕ~2],
(6.4)
которые эквивалентны соответственно системам уравнений
a = [k, у], к = [а, х], [а, у] = 0, [к, х} = 0, (6.5) а = [а, х], Jh = [к, х\ + [а, у], [к, у] = 0, (6.6)
а = [к, х], Jh = 0, [а,х] + [к,у] = 0, [а, у] = 0. (6.7)
125 Системы (6.5), (6.6), (6.7), очевидно, попарно не эквивалентны.
Из алгебраических связей (6.5) следует, что у = = P(a), x = Q(k); соответствующие динамические системы в случае матриц а ш к ленточного вида рассмотрены в работе [12].
Уравнения (6.6) и (6.7) далее рассматриваются в пространстве матриц ленточного вида, ненулевые элементы которых определяются формулами
ам-г = а>, ktii+q = i. (6.8)
Необходимо предположить, что в случчае (6.6) у = .= ?/cp, а в случае (6.7) у = ?ap.
II. Рассмотрим следующие уравнения Лакса, отвечающие случаям (6.3) и (6.4):
(ат + кЕ)' = [ат + кЕ,-Ъ- крЕ], (6.9)
(а + кЕ)' = [а + кЕ, сЕ+ ?ap?~2]. (6.10) Уравнение (6.9) является следствием уравнений
а = \а, Ь], Ъ = кр-уат + к*~2атк +... + <Гк*-\
Jc = O. (6.11)
Уравнение (6.10) является следствием !уравнений а = [к, с], с = аар/2 + ?(ар~хк + ар~2ка + ... + kap~l),
к = 0. (6.12)
Для разрешимости уравнений (6.11) в матрицах вида
(6.8) необходимо и достаточно 'выполнения соотношения
ГШ = (P-I)'д. (6.13)
Для аналогичной разрешимости уравнений (6.12) необходимо и достаточно выполнения соотношения
2q = r(p- 2), (6.14)
причем а = 0, если р — нечетное число.
Динамические системы, определенные условиями (6.11) и (6.12), являются эквивалентными при т = 1, P = 3 (в этом случае уравнения отличаются только знаком); тогда в силу (6.13), (6.14) имеем г = 2q. При других значениях параметров г, т, р, q уравнения Лакса
(6.9) и (6.10) приводят к существенно различным динамическим системам.
126 III. При условиях (6.13) матрица Ъ (6.11) является
диагональной с элементами (г, яг, q, р — 1 > 0)
р— 1 т—1
hi = 2 II Яі+qj-kr¦ (6.15)
5=0 h=о
Первое уравнение (6.11) принимает вид динамической системы
^i,г—г ~ —г,г—г) =
/р—im— 1 p—lm—i \
= «i 2 О oi+gi-ftr — 2 П «i+jj-hr-r ¦ (6-16)
\і=о й=о i=o ft=o /
В последнем слагаемом (6.16) преобразуем индекс, используя соотношение (6.13):
i+ qj — r(l + к) = і + (р — 1 — s)q — r(m — 1) =
= і — sq + rl, (6.17)
где s = 0, ..., р — 1, Z = O, ..., т — 1. Меняя в (6.17) обозначения, получаем окончательный вид уравнений (6.16)
